KNOWLEDGE HYPERMARKET

Арифметическая прогрессия
 
(6 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
-
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]&gt;&gt;Математика: Арифметическая прогрессия<metakeywords>Арифметическая прогрессия</metakeywords>'''  
+
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]&gt;&gt;Математика: Арифметическая прогрессия<metakeywords>Арифметическая прогрессия, арифметической прогрессии, числовую последовательность, Формула n-го члена, натурального числа, линейную функцию, уравнения, математической модели, системой уравнений, трехзначных чисел, среднему арифметическому</metakeywords>'''  
<br>  
<br>  
-
'''&nbsp;АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ'''<br>'''1.''' Основные понятия.<br>'''Определение.''' Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d — разностью арифметической прогрессии.<br>Таким образом, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (а<sub>n</sub>), заданная рекуррентно соотношениями
+
<h2> Определение арифметической прогрессии</h2>
-
[[Image:Al9161.jpg]]<br>(а и д, — заданные числа).<br>Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она арифметической прогрессией? Можно. Если вы убедились в том, что разность между любым членом последовательности и предшествующим ему членом постоянна [[Image:Al9162.jpg]]то перед вами — арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом.<br>'''Пример 1.''' 1, 3, 5, 7, 9,11,... .<br>Это арифметическая прогрессия, у которой а<sub>1</sub> = 1, d = 2.<br>'''Пример 2.''' 20,17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... .<br>Это арифметическая прогрессия, у которой а<sub>1</sub> = 20, d = -3.<br>'''Пример 3.''' 8, 8, 8, 8, 8, 8,... .<br>Это арифметическая прогрессия, у которой а<sub>1</sub> = 8, d = 0.<br>Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d &gt; 0 (см. пример 1), и убывающей, если d &lt; 0 (см. пример 2).<br>Для обозначения того, что последовательность (а<sub>n</sub>) является арифметической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись:
+
Арифметической прогрессией называют такую последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равняется предыдущему, к которому прибавляют одно и то же число.
-
[[Image:Al9163.jpg]]<br>Значок + заменяет словосочетание «арифметическая прогрессия».<br>Если в арифметической прогрессии отбросить все члены, следующие за каким-то конкретным членом последовательности, например за а<sub>n</sub>, то получится конечная арифметическая прогрессия
+
Число d, которое в переводе обозначает слово «разница», носит название разницы арифметической прогрессии.
-
[[Image:Al9164.jpg]]<br>Иногда в конечной арифметической прогрессии удобно записывать не только несколько членов в начале, но и несколько членов в конце, например так:
+
Иными словами можно сказать, что арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (аn), заданная рекуррентно соотношениями
-
[[Image:Al9165.jpg]]<br>В дальнейших пунктах этого параграфа рассмотрим наиболее важные свойства арифметической прогрессии.<br>'''2'''. Формула п-го члена арифметической прогрессии.<br>Задание арифметической прогрессии, о котором идет речь в определении, является рекуррентным. Во многих случаях оно неудобно: чтобы вычислить, например, аш, надо предварительно найти предшествующие 99 членов последовательности. Эту вычислительную работу можно существенно упростить, если удастся найти формулу п-го члена, т.е. перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии.<br>Рассмотрим арифметическую прогрессию [[Image:Al9166.jpg]] с разностью й. Имеем:
+
<br>
 +
[[Image:9kl_ArProgressia01.jpg|500x500px|пифагор]]
 +
<br>
-
[[Image:Al9167.jpg]]<br> Нетрудно догадаться, что для любого номера п справедливо равенство
+
При этом n = 2, 3, 4
-
[[Image:Al9168.jpg]]<br>'''Это — формула п-го члена арифметической прогрессии.'''<br>Важное -замечание. «Нетрудно догадаться», «можно сообразить» и т.д. — это стилистические обороты из области интуиции, догадки, озарения. Разумеется, математики ими пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Формулу (1) мы «прочувствовали», но не обосновали. Приведем (для интересующихся) доказательство.<br>Если [[Image:Al9169.jpg]] верное равенство, т.е. формула (1) для п = 1 верна.<br>Предположим, что формула (1) верна для натурального числа п — к, т.е. предположим, что верно равенство [[Image:Al91610.jpg]]&nbsp; Докажем, что тогда формула (1) верна и для следующего натурального числа л = к+ 1, т.е. докажем, что [[Image:Al91611.jpg]]<br>В самом деле, по определению арифметической прогрессии, [[Image:Al91612.jpg]]&nbsp; Далее имеем [[Image:Al91613.jpg]]
+
Где, a и d являются заданными числами.
-
А теперь смотрите: для л = 1 формула (1) верна (это мы проверили). Далее мы доказали, что если формула (1) верна для л = к, то она верна и для п = к + 1. Воспользуемся этим: формула (1) верна для п — 1, значит, она верна и для п = 2; так как она верна для п — 2, то она верна и для п = 3 и т.д. Значит, формула (1) верна для любого натурального числа п.<br>Приведенный метод рассуждений носит название «метод математической индукции».<br>Перепишем формулу п-го члена арифметической прогрессии [[Image:Al91614.jpg]] в виде [[Image:Al91615.jpg]] и введем обозначения: [[Image:Al91616.jpg]] Получим у = dn + m, или, подробнее,<br>[[Image:Al91617.jpg]]<br>Значит, арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную функцию (у = dх + m), заданную на множестве N натуральных чисел. Угловой коэффициент этой линейной функции равен й — разности арифметической прогрессии. На рис. 95 схематически изображен график арифметической прогрессии — изолированные точки на прямой (с абсциссами х = 1, х = 2, х = 3 и т.д.).  
+
То есть, такая числовая последовательность, как a1, a2, а3, ..., аn ... считается арифметической прогрессией.  
-
[[Image:Al91618.jpg]]<br>Вернемся к примерам 1, 2 и 3, рассмотренным выше. 1) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой ах — 1, d = 2. Составим формулу п-го члена:
+
Иначе говоря, числовая последовательность a1, a2, а3, ..., а n ... является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие an + 1 = an + d. Из этого равенства следует равенство an + 1 - an = d которая означает, что разница между любым следующим и предыдущим членами арифметической прогрессии р.
-
[[Image:Al91619.jpg]]<br>(заметим, что эту формулу нетрудно было угадать, глядя на заданную последовательность нечетных чисел 1, 3, 5, 7, ...).
+
'''Например'''
-
2)&nbsp;&nbsp;&nbsp; 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой а<sub>1</sub> = 20, d = -3. Составим формулу п-го члена:
+
Если взять последовательность чисел 4; 12; 20; 25; 36, то мы увидим, что каждое последующее число на восемь больше предыдущего. Такая последовательность получается за счет прибавления числа восемь к каждому следующему члену.  
-
[[Image:al91620.jpg]]<br>3)&nbsp;&nbsp;&nbsp; 8,8, 8.....Это арифметическая прогрессия, у которой а<sub>1</sub> = 8, d = 0. Составим формулу п-го члена:
+
Вот такая получается арифметическая прогрессия:
-
[[Image:al91621.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Дана арифметическая прогрессия
+
• 4+8=12<br>
 +
• 12+8=17<br>
 +
• 20+8=28<br>
 +
• 28+8=31<br>
-
[[Image:al91622.jpg]]<br>'''Решение.''' Во всех случаях в основе решения лежит формула п-го члена арифметической прогрессии
+
Для обозначения арифметической последовательности (аn), удобной является такая запись, как:
-
[[Image:al91623.jpg]]<br>а)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Положив в формуле п-го члена арифметической прогрессии п = 22,получим<br>[[Image:al91624.jpg]]<br>б)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Имеем<br>[[Image:al91625.jpg]]
+
+ a1, a2, а3, ..., аn ...
-
Решая составленное линейное уравнение, находим:
+
Здесь значок «+» служит заменой такого словосочетания, как «арифметическая прогрессия».
-
[[Image:al91626.jpg]]<br>в)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Имеем
+
'''Задание'''
-
[[Image:al91627.jpg]]<br> Из этого уравнения находим а<sub>1</sub> = 159.<br>г) Имеем
+
Перед вами предоставлена такая последовательность чисел:
-
[[Image:al91628.jpg]]<br>Из этого уравнения находим: 14d = -42, d = -3.<br>'''О т в е т: а)''' а<sub>22</sub> = 89; '''б)''' п = 41; '''в)''' а<sub>1</sub> = 159; '''г)''' d = -3.<br>'''Пример 5.''' При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается 7; при делении десятого члена прогрессии на ее пятый член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти двадцатый член этой прогрессии.<br>'''Решение. Первый этап.''' Составление математической модели.<br>Условия задачи можно кратко записать так:
+
3, 6, 9, 12, 15, 18,……
-
[[Image:al91629.jpg]]<br>Воспользовавшись (несколько раз) формулой п-го члена арифметической прогрессии, получим:
+
Дайте ответ на такие вопросы:
-
[[Image:al91630.jpg]]<br>Тогда второе условие задачи (а<sub>9</sub> = 7а<sub>2</sub>) можно записать в виде
+
1. Можно ли назвать изображенный перечень чисел арифметической прогрессией?<br>
 +
2. Назовите ее первый член.<br>
 +
3. Чему равен ее десятый член?<br>
 +
4. Найдите разность этой прогрессии.<br>
 +
5. Какой будет сумма первых четырнадцати ее членов?<br>
 +
6. К какой последовательности относится эта арифметическая прогрессия? К возрастающей или убывающей?<br>
 +
7. Сделайте запись формулы ее n-го члена.<br>
-
[[Image:al91631.jpg]]<br>Третье условие задачи (а<sub>10</sub>= 2а<sub>5</sub> + 5) можно записать в виде
+
<h2> Формула арифметической прогрессии</h2>
-
[[Image:al91632.jpg]]
+
Такое нахождение арифметической прогрессии, в котором чтобы вычислить аn, необходимо еще найти и 99 предшествующих членов последовательности, является не совсем удобным. Естественно, что такую вычислительную работу буден лучше выполнить при помощи формулы n-го члена, то есть осуществить аналитическое задание арифметической прогрессии.  
-
В итоге получаем очень простую систему двух линейных уравнений с двумя переменными а<sub>1</sub> и d:
+
Припустим, что первый член арифметической прогрессии равен а1, а d - разница.
-
[[Image:al91633.jpg]]<br>которая в сочетании с записанным выше условием 1) и представляет собой математическую модель задачи.<br>Второй этап. Работа с составленной моделью.<br>Решая систему, находим = 1, й = 6.<br>Теперь мы можем записать арифметическую прогрессию 1,7, 13,19, 25,31,....<br>Третий этап. Ответ на вопрос задачи.<br>Требуется вычислить а20. Имеем а20 = а1 + 19й = 1 + 19'6=115.<br>О т в е т: а20 = 115.<br>Замечание. В рассмотренном примере речь шла о конкретной математической модели — арифметической прогрессии. Первый этап решения мы назвали, как обычно, «составление математической модели». Получается, что мы составили математическую модель для математической модели. Как это понимать? Дело в том, что при решении задач очень часто приходится заменять одну математическую модель другой, более простой. Так обстоит дело и в рассмотренной задаче: математическую модель, оформленную в виде условий 1), 2) и 3), нам удалось заменить более привычной моделью — системой уравнений.<br>3. Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии.<br>Пусть дана конечная арифметическая прогрессия а . а . а.....а . а \ а .<br>1' 2&gt; 3' ' л-2 п—1 п<br>Обозначим через &lt;§л сумму ее членов, т.е.<br>= + й2 + «3 + - + ап-2 + ап-1 + ап<br>Выведем формулу для нахождения этой суммы.<br>Для начала заметим, что<br>а. + а = а, + а .<br>с&nbsp;&nbsp;&nbsp; П—1&nbsp;&nbsp;&nbsp; I&nbsp;&nbsp;&nbsp; Л<br>В самом деле, по определению арифметической прогрессии, а. = а, + й, а = а -Л. Значит,<br>2 1 1 л-1 п&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>а2 + "л-1 = (й1 + + К -&lt;*)-&lt;», +<br>126<br>4.16. ||<br>ПРОГРЕССИИ<br>Аналогично можно установить, что<br>а, + а „ = а. + а =а. + а<br>3 л-2 2 л-1 1 л<br>и вообще что сумма члена, находящегося на к-м месте от начала конечной арифметической прогрессии, и члена, находящегося на к-м месте от ее конца, равна сумме первого и последнего членов прогрессии.<br>Рассмотрим конкретный пример отыскания 5&gt;п. Дана конечная арифметическая прогрессия 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100. Сумму ее членов вычислим следующим образом:<br>8]00 = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = = 101+101+ 101+ ... + 101 =<br>(50 слагаемых)<br>= 101-50 = 5050.<br>Замечание. Рассказывают, что немецкий математик XIX века Карл Фридрих Гаусс додумался до приведенного выше решения примера в возрасте 5 лет.<br>Применим аналогичную идею для произвольной арифметической прогрессии. Имеем:<br>5 = а, + а„ + а, + ... + а „ + а , + а,<br>л 1 2 3&nbsp;&nbsp;&nbsp; л-2 п-1 л1<br>8 =а +а , + а „ + ... + а. + а. + а,.<br>л л л-1 л-2&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3 2 1<br>Сложив эти два равенства, получим<br>28, = + а.) + («2 + &lt;*„-,) + (а, + а„_2) + ...<br>- + ("л-2 + "з) + ("л-! + "г) + К + а1&gt;-<br>В правой части равенства п пар слагаемых, каждая пара, как мы установили выше, равна аг + ап. Значит, получаем<br>28п = п(ах + ап), т.е.<br>_ п(а1 + аП)<br>Это — формула суммы п членов арифметической прогрессии.<br>127<br>4.16. ||<br>ПРОГРЕССИИ<br>Пример 6. Дана конечная арифметическая прогрессия а . и . а.....а .<br>1' 2 3' ' п<br>а)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Известно, что ах = 5, д, = 4, п = 22. Найти &lt;§п, т.е. &lt;§22.<br>б)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Известно, что ах = 7, п = 8, 58 = 140. Найти й.<br>Р е ш е н и е. а) Имеем а = а, = а, + 21й = 5 + 21•4 = 89.<br>'&nbsp;&nbsp;&nbsp; Л&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>Значит, 522 = 22(а^) = 11 • (5 + 89) = 1034.<br>б) Сначала найдем ап, т.е. а8. Имеем<br>_ 8(а1 + а8) " ^ '<br>т.е.<br>140 = 4 (ах + а8), 140 = 4(7 + а8), 35 = 7 + а8.<br>В итоге получаем, что а8 = 28.<br>А теперь применим к а8 формулу п-го члена арифметической прогрессии а8 = а1 + 16,, т.е. 28 = 7 + Чй, откуда находим 6 = 3. О т в е т: а) 522= 1034; 6)6 = 3.<br>Пример 7. Найти сумму всех четных трехзначных чисел. Решение. Речь идет о сумме членов конечной арифметической прогрессии 100,102,104,..., 998. У этой прогрессии а1 = 100, ап = 998, 6 = 2. Нужно вычислить 8п, но для этого сначала надо узнать, чему равно п, т.е. сколько членов содержится в указанной конечной арифметической прогрессии. Имеем последовательно:<br>а= аг + (л - 1)6, 998 = 100 + (л - 1) • 2, 998 = 2п + 98, п = 450.<br>Итак, а1 = 100, п = 450, ап = 998. Наша задача — вычислить<br>5„&gt; Т-е- 5460-<br>Имеем<br>2<br>Ответ: 247 050.<br>«450 = \ 460 = 225 (100 + 998) = 247050.<br>128<br>4.15.<br>ПРОГРЕССИИ<br>Иногда оказывается полезной несколько видоизмененная формула суммы п членов арифметической прогрессии. Если в формуле для &lt;§п учесть, что ап = а1 + й(п - 1), то получим<br>2а, + Л(п - 1)<br>&amp; = —4- • п.<br>2<br>Пример 8. Турист, двигаясь по сильно пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 м, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь, равный 5700 м?<br>Решение. Первый этап. Составление математической модели.<br>За первый час турист прошел 800 м, за второй — 775 м, за третий — 750 м и т.д. Математической моделью является конечная арифметическая прогрессия<br>+ а1&gt; а2&gt;аз&gt; —&gt;ап&gt;<br>у которой аг = 800, Л = -25, 5п = 5700. Надо найти п (в часах — время движения туриста).<br>Второй этап. Работа с составленной моделью. Воспользуемся второй формулой для<br>„ 2а, + Л(п - 1)<br>о = —-- • п,<br>2<br>т.е.<br>5700 = 2 8°°-25(п-1) • п, 2<br>228 = 64 -("-Ц .п 2<br>(обе части уравнения разделили на 25),<br>456 = л(65 - п), п2 -65л + 456 = 0, пх = 8, п2 = 57.<br>Третий этап. Ответ на вопрос задачи.<br>Спрашивается, сколько времени был в пути турист. По смыслу задачи из двух найденных значений п выбираем первое: п = 8. Ответ: турист был в пути 8 часов.<br>9-'6&nbsp;&nbsp;&nbsp; 129<br>4.16. ||<br>ПРОГРЕССИИ<br>4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.<br>Пусть дана арифметическая прогрессия а , а2, а3,..., ап,.... Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом: ап1, ап, ая+1. Известно, что<br>а -&amp; = а .,<br>Л&nbsp;&nbsp;&nbsp; я—1<br>а + (1 = а ,.<br>п&nbsp;&nbsp;&nbsp; п+1<br>Сложив эти равенства, получим<br>а =<br>Это значит, что каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего)равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.<br>Верно и обратное: если последовательность (ая) такова, что для любого п &gt; 1 выполняется равенство<br>а , + а , а =&nbsp;&nbsp;&nbsp; ""<br>то (ап) — арифметическая прогрессия.<br>В самом деле, последнее равенство можно переписать в виде а -а = а - а .<br>п л-1 л+1 п<br>Это значит, в частности, что а2~ ах = а3 - а2, а3 - а2 = а4 - а3 и т.д. Иными словами, разность между любым членом последовательности и предшествующим ему всегда одна и та же, а это и означает, что задана арифметическая прогрессия.<br>Тем самым мы доказали следующую теорему.<br>Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последне-Теорема&nbsp;&nbsp;&nbsp; го&gt; в случае конечной последовательности),<br>равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии).<br>Пример 9. При каком значении х числа Зх + 2, Ьх - 4 и Их + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?<br>130<br>4.16.<br>ПРОГРЕССИИ<br>Решение. Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению<br>5х - 4 = &lt;3*+ 2) + (Их + 12) 2<br>Решая это уравнение, находим:<br>10х - 8 = 14х +14, х = -5,5.<br>При этом значении х заданные выражения Зх + 2, 5х - 4, Их + 12 принимают соответственно значения -14,5, -31,5, -48,5. Это арифметическая прогрессия, ее разность равна -17. О т в е т: х = -5,5.
+
Тогда:
-
А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс
+
<br>
 +
[[Image:9kl_ArProgressia02.jpg|300x300px|пифагор]]
 +
<br>
 +
 +
Мы видим, что в этих формулах коэффициент при числе d на один меньше порядкового номера члена прогрессии.  
 +
<br>
 +
[[Image:9kl_ArProgressia03.jpg|600x400px|пифагор]]
 +
<br>
 +
<br>
 +
[[Image:9kl_ArProgressia04.jpg|500x500px|пифагор]]
<br>  
<br>  
-
<sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]</sub>  
+
<h2> Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии</h2>
-
'''<u>Содержание урока</u>'''
+
<br>
-
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                      '''
+
[[Image:9kl_ArProgressia05.jpg|500x500px|пифагор]]
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас 
+
<br>
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии
+
-
+
-
'''<u>Практика</u>'''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+
-
 
+
-
'''<u>Иллюстрации</u>'''
+
-
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
-
+
-
'''<u>Дополнения</u>'''
+
-
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                         
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
+
-
+
-
<u>Совершенствование учебников и уроков
+
-
</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми
+
-
 
+
-
'''<u>Только для учителей</u>'''
+
-
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+
-
+
-
+
-
'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
+
-
</u>
+
-
<br>  
+
<h2> Характеристическое свойство арифметической прогрессии</h2>
 +
 
 +
<br>
 +
[[Image:9kl_ArProgressia06.jpg|500x500px|пифагор]]
 +
<br>
 +
 
 +
'''Задание'''
 +
 
 +
Решите несколько бытовых задач:
 +
 
 +
1. По рекомендации санаторного врача, отдыхающим было рекомендовано начинать принимать загар с пяти минут, увеличивая ежедневно время пребывание на солнце, еще на пять минут. Сколько дней будет длиться путевка в санатории, если время загара увеличится до 30 минут?<br>
 +
 
 +
2. Спортсмен за час пробегает расстояние в 10 км. Каждый следующий час бега его расстояние уменьшается на 0,5 км, чем предыдущий. За сколько времени он пробежит 50 км?<br>
 +
 
 +
3. В театре сидячие места расположены так, что в каждом следующем ряду количество кресел на четыре больше, чем в предыдущем, а всего в зале насчитывается 1050 мест. Назовите количество рядов в зале, если первый ряд насчитывает десять кресел?<br>
 +
 
 +
<h2> Историческая справка</h2>
 +
 
 +
А известно ли вам, что создание формулы 1-х n – членов арифметической прогрессии тесно переплетается с именем такого ученого, как Карл Фридрих Гаусс. Будучи еще совсем ребенком, он проявлял себя истинным вундеркиндом, и кроме того, что умел читать и писать, умудрялся исправлять ошибки отца в подсчетах.
 +
 
 +
Если верить легенде, то во время учебы, когда учитель предложил детям сосчитать сумму чисел от одного до ста, то восьмилетний Карл Гаусс очень быстро нашел искомую величину, так как смог заметить, что попарные суммы с противоположных сторон имеют одинаковый результат. Немного позднее он вывел формулу арифметической прогрессии.
 +
 
 +
А вот «прогрессия», как термин появился в шестом веке благодаря римлянину Боэцию и воспринимался, как бесконечная числовая последовательность. И уже древние греки из теории непрерывных пропорций выделили такие названия, как «арифметическая» и «геометрическая» прогрессия.
 +
 
 +
Задание: А вы сможете быстро подсчитать сумму от 1 до 100? Может среди нас тоже есть Гауссы-вундеркинды?
 +
 
 +
<h2> Интересные факты</h2>
 +
 
 +
В 1796 году Карл Фридрих Гаусс решил окончательно посвятить себя математике, потому что обнаружил метод, который позволил построить правильный семнадцатиугольник только с помощью линейки и циркуля! Над этой задачей бились все  известные математики-геометры еще со времен великого Эвклида! А ведь изначально Гаусс собирался посвятить себя классической литературе, из-за необыкновенных склонностей к языкам.
 +
 
 +
Некоторые факты, о математических прогрессиях были известны еще древним китайским и индийским мудрецам. Так, например, есть древняя индийская легенда, которая рассказывает об изобретении шахмат, а которой проходят моменты, связанные со знаниями арифметической прогрессии.
 +
 
 +
Легенда рассказывает, как индийский шах Шерам пообещал награду тому, кто придумает интересную игр, которая вызовет длительный интерес у индийского владыки. Но мудрец Сета, который придумал шахматы, попросил за ее изобретение такое количество зерен, которое будет увеличиваться в зависимости от клеток на шахматной доске. И если на первую клеточку нужно положить только одно зернышко, то на следующую в два раза больше. И так каждый раз количество зерен на каждой следующей клетке снова удваивается по сравнению с предыдущей и т.д. вплоть до шестьдесят четвертой клетки. 
 +
Это значит, что количество зерен равняется сумме шестидесяти четырех членной геометрической прогрессии. В итоге должно было получиться такое число зерен, которое нужно было бы собирать со всей планеты. Поэтому шах просьбу ученого выполнить никак не мог. 
 +
 
 +
А вот с помощью вычислений английский математик Абрахам де Муавр смог предсказать дату своей кончины. Наблюдая за продолжительностью своего сна, он заметил, что она с каждым днем увеличивается на пятнадцать минут в день и, рассчитав арифметическую прогрессию, он узнал дату своей смерти и в этот же день и умер.
 +
 
 +
'''Задание:''' А известно ли вам, с какой легендой связано создание геометрической прогрессии?
 +
 
 +
<h2> Домашнее задание</h2>
-
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].
+
Посмотрите внимательно на схему, изображенную внизу, и укажите с помощью стрелочек, какому определению соответствует формула, изображенная в овале?
-
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
+
<br>
 +
[[Image:9kl_ArProgressia07.jpg|500x500px|пифагор]]
 +
<br>

Текущая версия на 09:00, 20 мая 2015

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Арифметическая прогрессия


Содержание

Определение арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называют такую последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равняется предыдущему, к которому прибавляют одно и то же число.

Число d, которое в переводе обозначает слово «разница», носит название разницы арифметической прогрессии.

Иными словами можно сказать, что арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (аn), заданная рекуррентно соотношениями


пифагор

При этом n = 2, 3, 4

Где, a и d являются заданными числами.

То есть, такая числовая последовательность, как a1, a2, а3, ..., аn ... считается арифметической прогрессией.

Иначе говоря, числовая последовательность a1, a2, а3, ..., а n ... является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие an + 1 = an + d. Из этого равенства следует равенство an + 1 - an = d которая означает, что разница между любым следующим и предыдущим членами арифметической прогрессии р.

Например

Если взять последовательность чисел 4; 12; 20; 25; 36, то мы увидим, что каждое последующее число на восемь больше предыдущего. Такая последовательность получается за счет прибавления числа восемь к каждому следующему члену.

Вот такая получается арифметическая прогрессия:

• 4+8=12
• 12+8=17
• 20+8=28
• 28+8=31

Для обозначения арифметической последовательности (аn), удобной является такая запись, как:

+ a1, a2, а3, ..., аn ...

Здесь значок «+» служит заменой такого словосочетания, как «арифметическая прогрессия».

Задание

Перед вами предоставлена такая последовательность чисел:

3, 6, 9, 12, 15, 18,……

Дайте ответ на такие вопросы:

1. Можно ли назвать изображенный перечень чисел арифметической прогрессией?
2. Назовите ее первый член.
3. Чему равен ее десятый член?
4. Найдите разность этой прогрессии.
5. Какой будет сумма первых четырнадцати ее членов?
6. К какой последовательности относится эта арифметическая прогрессия? К возрастающей или убывающей?
7. Сделайте запись формулы ее n-го члена.

Формула арифметической прогрессии

Такое нахождение арифметической прогрессии, в котором чтобы вычислить аn, необходимо еще найти и 99 предшествующих членов последовательности, является не совсем удобным. Естественно, что такую вычислительную работу буден лучше выполнить при помощи формулы n-го члена, то есть осуществить аналитическое задание арифметической прогрессии.

Припустим, что первый член арифметической прогрессии равен а1, а d - разница.

Тогда:


пифагор

Мы видим, что в этих формулах коэффициент при числе d на один меньше порядкового номера члена прогрессии.


пифагор

пифагор

Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии


пифагор

Характеристическое свойство арифметической прогрессии


пифагор

Задание

Решите несколько бытовых задач:

1. По рекомендации санаторного врача, отдыхающим было рекомендовано начинать принимать загар с пяти минут, увеличивая ежедневно время пребывание на солнце, еще на пять минут. Сколько дней будет длиться путевка в санатории, если время загара увеличится до 30 минут?

2. Спортсмен за час пробегает расстояние в 10 км. Каждый следующий час бега его расстояние уменьшается на 0,5 км, чем предыдущий. За сколько времени он пробежит 50 км?

3. В театре сидячие места расположены так, что в каждом следующем ряду количество кресел на четыре больше, чем в предыдущем, а всего в зале насчитывается 1050 мест. Назовите количество рядов в зале, если первый ряд насчитывает десять кресел?

Историческая справка

А известно ли вам, что создание формулы 1-х n – членов арифметической прогрессии тесно переплетается с именем такого ученого, как Карл Фридрих Гаусс. Будучи еще совсем ребенком, он проявлял себя истинным вундеркиндом, и кроме того, что умел читать и писать, умудрялся исправлять ошибки отца в подсчетах.

Если верить легенде, то во время учебы, когда учитель предложил детям сосчитать сумму чисел от одного до ста, то восьмилетний Карл Гаусс очень быстро нашел искомую величину, так как смог заметить, что попарные суммы с противоположных сторон имеют одинаковый результат. Немного позднее он вывел формулу арифметической прогрессии.

А вот «прогрессия», как термин появился в шестом веке благодаря римлянину Боэцию и воспринимался, как бесконечная числовая последовательность. И уже древние греки из теории непрерывных пропорций выделили такие названия, как «арифметическая» и «геометрическая» прогрессия.

Задание: А вы сможете быстро подсчитать сумму от 1 до 100? Может среди нас тоже есть Гауссы-вундеркинды?

Интересные факты

В 1796 году Карл Фридрих Гаусс решил окончательно посвятить себя математике, потому что обнаружил метод, который позволил построить правильный семнадцатиугольник только с помощью линейки и циркуля! Над этой задачей бились все известные математики-геометры еще со времен великого Эвклида! А ведь изначально Гаусс собирался посвятить себя классической литературе, из-за необыкновенных склонностей к языкам.

Некоторые факты, о математических прогрессиях были известны еще древним китайским и индийским мудрецам. Так, например, есть древняя индийская легенда, которая рассказывает об изобретении шахмат, а которой проходят моменты, связанные со знаниями арифметической прогрессии.

Легенда рассказывает, как индийский шах Шерам пообещал награду тому, кто придумает интересную игр, которая вызовет длительный интерес у индийского владыки. Но мудрец Сета, который придумал шахматы, попросил за ее изобретение такое количество зерен, которое будет увеличиваться в зависимости от клеток на шахматной доске. И если на первую клеточку нужно положить только одно зернышко, то на следующую в два раза больше. И так каждый раз количество зерен на каждой следующей клетке снова удваивается по сравнению с предыдущей и т.д. вплоть до шестьдесят четвертой клетки. Это значит, что количество зерен равняется сумме шестидесяти четырех членной геометрической прогрессии. В итоге должно было получиться такое число зерен, которое нужно было бы собирать со всей планеты. Поэтому шах просьбу ученого выполнить никак не мог.

А вот с помощью вычислений английский математик Абрахам де Муавр смог предсказать дату своей кончины. Наблюдая за продолжительностью своего сна, он заметил, что она с каждым днем увеличивается на пятнадцать минут в день и, рассчитав арифметическую прогрессию, он узнал дату своей смерти и в этот же день и умер.

Задание: А известно ли вам, с какой легендой связано создание геометрической прогрессии?

Домашнее задание

Посмотрите внимательно на схему, изображенную внизу, и укажите с помощью стрелочек, какому определению соответствует формула, изображенная в овале?


пифагор

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F»

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

©  Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний - Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: