|
|
Строка 63: |
Строка 63: |
| [[Image:Al91642.jpg]]<br>В правой части равенства п пар слагаемых, каждая пара, как мы установили выше, равна а<sub>1</sub> + а<sub>n</sub>. Значит, получаем | | [[Image:Al91642.jpg]]<br>В правой части равенства п пар слагаемых, каждая пара, как мы установили выше, равна а<sub>1</sub> + а<sub>n</sub>. Значит, получаем |
| | | |
- | [[Image:Al91643.jpg]]<br>''Это — формула суммы п членов арифметической прогрессии.''<br>'''Пример 6.''' Дана конечная арифметическая прогрессия | + | [[Image:Al91643.jpg]]<br>''Это — формула суммы п членов арифметической прогрессии.''<br>'''Пример 6.''' Дана конечная арифметическая прогрессия |
| | | |
- | [[Image:al91644.jpg]]<br>'''Р е ш е н и е. а)''' Имеем | + | [[Image:Al91644.jpg]]<br>'''Р е ш е н и е. а)''' Имеем |
| | | |
- | [[Image:al91645.jpg]]<br>'''б)''' Сначала найдем | + | [[Image:Al91645.jpg]]<br>'''б)''' Сначала найдем |
| | | |
- | [[Image:al91646.jpg]] | + | [[Image:Al91646.jpg]] |
| | | |
| В итоге получаем, что а<sub>8</sub> = 28.<br>А теперь применим к а<sub>8</sub> формулу п-го члена арифметической прогрессии а<sub>8</sub> = а1 + 16,, т.е. 28 = 7 + d, откуда находим d = 3. | | В итоге получаем, что а<sub>8</sub> = 28.<br>А теперь применим к а<sub>8</sub> формулу п-го члена арифметической прогрессии а<sub>8</sub> = а1 + 16,, т.е. 28 = 7 + d, откуда находим d = 3. |
| | | |
- | '''О т в е т: а) '''S<sub>22</sub>= 1034; '''б)''' d = 3.<br>'''Пример 7.''' Найти сумму всех четных трехзначных чисел. Решение. Речь идет о сумме членов конечной арифметической прогрессии 100,102,104,..., 998. У этой прогрессии а<sub>1</sub> = 100, а<sub>п</sub> = 998, d = 2. Нужно вычислить 8<sub>п</sub>, но для этого сначала надо узнать, чему равно п, т.е. сколько членов содержится в указанной конечной арифметической прогрессии. Имеем последовательно: | + | '''О т в е т: а) '''S<sub>22</sub>= 1034; '''б)''' d = 3.<br>'''Пример 7.''' Найти сумму всех четных трехзначных чисел. Решение. Речь идет о сумме членов конечной арифметической прогрессии 100,102,104,..., 998. У этой прогрессии а<sub>1</sub> = 100, а<sub>п</sub> = 998, d = 2. Нужно вычислить 8<sub>п</sub>, но для этого сначала надо узнать, чему равно п, т.е. сколько членов содержится в указанной конечной арифметической прогрессии. Имеем последовательно: |
| | | |
- | [[Image:al91647.jpg]]<br>Итак, а<sub>1</sub> = 100, п = 450, а<sub>п</sub> = 998. Наша задача — вычислить<br>[[Image:al91648.jpg]]<br>Имеем<br>[[Image:al91649.jpg]]<br>'''Ответ:''' 247 050.<br>Иногда оказывается полезной несколько видоизмененная формула суммы п членов арифметической прогрессии. Если в формуле для Sn учесть, что аn = а<sub>1</sub> + d(п - 1), то получим | + | [[Image:Al91647.jpg]]<br>Итак, а<sub>1</sub> = 100, п = 450, а<sub>п</sub> = 998. Наша задача — вычислить<br>[[Image:Al91648.jpg]]<br>Имеем<br>[[Image:Al91649.jpg]]<br>'''Ответ:''' 247 050.<br>Иногда оказывается полезной несколько видоизмененная формула суммы п членов арифметической прогрессии. Если в формуле для Sn учесть, что аn = а<sub>1</sub> + d(п - 1), то получим |
| | | |
- | [[Image:al91650.jpg]]<br>'''Пример 8.''' Турист, двигаясь по сильно пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 м, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь, равный 5700 м?<br>'''Решение. Первый этап. '''Составление математической модели.<br>За первый час турист прошел 800 м, за второй — 775 м, за третий — 750 м и т.д. Математической моделью является конечная арифметическая прогрессия [[Image:al91651.jpg]] | + | [[Image:Al91650.jpg]]<br>'''Пример 8.''' Турист, двигаясь по сильно пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 м, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь, равный 5700 м?<br>'''Решение. Первый этап. '''Составление математической модели.<br>За первый час турист прошел 800 м, за второй — 775 м, за третий — 750 м и т.д. Математической моделью является конечная арифметическая прогрессия [[Image:Al91651.jpg]] |
| | | |
- | у которой а<sub>1</sub> = 800, d = -25, Sn = 5700. Надо найти п (в часах — время движения туриста).<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Воспользуемся второй формулой для Sn | + | у которой а<sub>1</sub> = 800, d = -25, Sn = 5700. Надо найти п (в часах — время движения туриста).<br>'''Второй этап.''' Работа с составленной моделью. Воспользуемся второй формулой для Sn |
| | | |
- | [[Image:al91652.jpg]]<br>'''Третий этап.''' Ответ на вопрос задачи.<br>Спрашивается, сколько времени был в пути турист. По смыслу задачи из двух найденных значений п выбираем первое: п = 8. | + | [[Image:Al91652.jpg]]<br>'''Третий этап.''' Ответ на вопрос задачи.<br>Спрашивается, сколько времени был в пути турист. По смыслу задачи из двух найденных значений п выбираем первое: п = 8. |
| | | |
- | '''Ответ:''' турист был в пути 8 часов. | + | '''Ответ:''' турист был в пути 8 часов. |
| | | |
- | <br>9-'6 129<br>4.16. ||<br>ПРОГРЕССИИ<br>4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.<br>Пусть дана арифметическая прогрессия а , а2, а3,..., ап,.... Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом: ап1, ап, ая+1. Известно, что<br>а -& = а .,<br>Л я—1<br>а + (1 = а ,.<br>п п+1<br>Сложив эти равенства, получим<br>а =<br>Это значит, что каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего)равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.<br>Верно и обратное: если последовательность (ая) такова, что для любого п > 1 выполняется равенство<br>а , + а , а = ""<br>то (ап) — арифметическая прогрессия.<br>В самом деле, последнее равенство можно переписать в виде а -а = а - а .<br>п л-1 л+1 п<br>Это значит, в частности, что а2~ ах = а3 - а2, а3 - а2 = а4 - а3 и т.д. Иными словами, разность между любым членом последовательности и предшествующим ему всегда одна и та же, а это и означает, что задана арифметическая прогрессия.<br>Тем самым мы доказали следующую теорему.<br>Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последне-Теорема го> в случае конечной последовательности),<br>равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии).<br>Пример 9. При каком значении х числа Зх + 2, Ьх - 4 и Их + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?<br>130<br>4.16.<br>ПРОГРЕССИИ<br>Решение. Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению<br>5х - 4 = <3*+ 2) + (Их + 12) 2<br>Решая это уравнение, находим:<br>10х - 8 = 14х +14, х = -5,5.<br>При этом значении х заданные выражения Зх + 2, 5х - 4, Их + 12 принимают соответственно значения -14,5, -31,5, -48,5. Это арифметическая прогрессия, ее разность равна -17. О т в е т: х = -5,5.
| + | '''4.''' Характеристическое свойство арифметической прогрессии.<br>Пусть дана арифметическая прогрессия а<sub>1</sub> , а<sub>2</sub>, а<sub>3</sub>,..., а<sub>п</sub>,.... Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом: а<sub>п1</sub>, а<sub>п</sub>, а<sub>n+1</sub>. Известно, что |
| + | |
| + | [[Image:al91653.jpg]]<br>Сложив эти равенства, получим |
| + | |
| + | [[Image:al91654.jpg]]''<br>Это значит, что каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего)равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.''<br>Верно и обратное: если последовательность (а<sub>n</sub>) такова, что для любого п > 1 выполняется равенство |
| + | |
| + | [[Image:al91655.jpg]]<br>то (а<sub>n</sub>) — арифметическая прогрессия.<br>В самом деле, последнее равенство можно переписать в виде |
| + | |
| + | [[Image:al91656.jpg]]<br>Это значит, в частности, что [[Image:al91657.jpg]]. Иными словами, разность между любым членом последовательности и предшествующим ему всегда одна и та же, а это и означает, что задана арифметическая прогрессия.<br>Тем самым мы доказали следующую теорему.<br>'''Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности),<br>равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии).'''<br>'''Пример 9.''' При каком значении х числа Зх + 2, dх - 4 и dх + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?<br>'''Решение. '''Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению |
| + | |
| + | [[Image:al91658.jpg]]<br>Решая это уравнение, находим: |
| + | |
| + | [[Image:al91659.jpg]]<br>При этом значении х заданные выражения Зх + 2, 5х - 4, 11х + 12 принимают соответственно значения -14,5, -31,5, -48,5. Это арифметическая прогрессия, ее разность равна -17. |
| + | |
| + | '''О т в е т:''' х = -5,5. |
| | | |
| А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс | | А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс |
Версия 10:52, 1 июля 2010
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Арифметическая прогрессия
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 1. Основные понятия. Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d — разностью арифметической прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (аn), заданная рекуррентно соотношениями
![Al9161.jpg](/images/a/ae/Al9161.jpg) (а и д, — заданные числа). Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она арифметической прогрессией? Можно. Если вы убедились в том, что разность между любым членом последовательности и предшествующим ему членом постоянна то перед вами — арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом. Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9,11,... . Это арифметическая прогрессия, у которой а1 = 1, d = 2. Пример 2. 20,17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой а1 = 20, d = -3. Пример 3. 8, 8, 8, 8, 8, 8,... . Это арифметическая прогрессия, у которой а1 = 8, d = 0. Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d > 0 (см. пример 1), и убывающей, если d < 0 (см. пример 2). Для обозначения того, что последовательность (аn) является арифметической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись:
![Al9163.jpg](/images/b/b5/Al9163.jpg) Значок + заменяет словосочетание «арифметическая прогрессия». Если в арифметической прогрессии отбросить все члены, следующие за каким-то конкретным членом последовательности, например за аn, то получится конечная арифметическая прогрессия
![Al9164.jpg](/images/2/23/Al9164.jpg) Иногда в конечной арифметической прогрессии удобно записывать не только несколько членов в начале, но и несколько членов в конце, например так:
![Al9165.jpg](/images/3/3c/Al9165.jpg) В дальнейших пунктах этого параграфа рассмотрим наиболее важные свойства арифметической прогрессии. 2. Формула п-го члена арифметической прогрессии. Задание арифметической прогрессии, о котором идет речь в определении, является рекуррентным. Во многих случаях оно неудобно: чтобы вычислить, например, аш, надо предварительно найти предшествующие 99 членов последовательности. Эту вычислительную работу можно существенно упростить, если удастся найти формулу п-го члена, т.е. перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии. Рассмотрим арифметическую прогрессию с разностью й. Имеем:
![Al9167.jpg](/images/f/f6/Al9167.jpg) Нетрудно догадаться, что для любого номера п справедливо равенство
![Al9168.jpg](/images/2/2b/Al9168.jpg) Это — формула п-го члена арифметической прогрессии. Важное -замечание. «Нетрудно догадаться», «можно сообразить» и т.д. — это стилистические обороты из области интуиции, догадки, озарения. Разумеется, математики ими пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Формулу (1) мы «прочувствовали», но не обосновали. Приведем (для интересующихся) доказательство. Если верное равенство, т.е. формула (1) для п = 1 верна. Предположим, что формула (1) верна для натурального числа п — к, т.е. предположим, что верно равенство Докажем, что тогда формула (1) верна и для следующего натурального числа л = к+ 1, т.е. докажем, что ![Al91611.jpg](/images/5/50/Al91611.jpg) В самом деле, по определению арифметической прогрессии, Далее имеем
А теперь смотрите: для л = 1 формула (1) верна (это мы проверили). Далее мы доказали, что если формула (1) верна для л = к, то она верна и для п = к + 1. Воспользуемся этим: формула (1) верна для п — 1, значит, она верна и для п = 2; так как она верна для п — 2, то она верна и для п = 3 и т.д. Значит, формула (1) верна для любого натурального числа п. Приведенный метод рассуждений носит название «метод математической индукции». Перепишем формулу п-го члена арифметической прогрессии в виде и введем обозначения: Получим у = dn + m, или, подробнее,
![Al91617.jpg](/images/c/c3/Al91617.jpg) Значит, арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную функцию (у = dх + m), заданную на множестве N натуральных чисел. Угловой коэффициент этой линейной функции равен й — разности арифметической прогрессии. На рис. 95 схематически изображен график арифметической прогрессии — изолированные точки на прямой (с абсциссами х = 1, х = 2, х = 3 и т.д.).
![Al91618.jpg](/images/3/36/Al91618.jpg) Вернемся к примерам 1, 2 и 3, рассмотренным выше. 1) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой ах — 1, d = 2. Составим формулу п-го члена:
![Al91619.jpg](/images/7/75/Al91619.jpg) (заметим, что эту формулу нетрудно было угадать, глядя на заданную последовательность нечетных чисел 1, 3, 5, 7, ...).
2) 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой а1 = 20, d = -3. Составим формулу п-го члена:
![Al91620.jpg](/images/8/87/Al91620.jpg) 3) 8,8, 8.....Это арифметическая прогрессия, у которой а1 = 8, d = 0. Составим формулу п-го члена:
![Al91621.jpg](/images/3/32/Al91621.jpg) Пример 4. Дана арифметическая прогрессия
![Al91622.jpg](/images/4/44/Al91622.jpg) Решение. Во всех случаях в основе решения лежит формула п-го члена арифметической прогрессии
![Al91623.jpg](/images/5/5f/Al91623.jpg) а) Положив в формуле п-го члена арифметической прогрессии п = 22,получим
![Al91624.jpg](/images/c/c3/Al91624.jpg) б) Имеем
Решая составленное линейное уравнение, находим:
![Al91626.jpg](/images/a/a7/Al91626.jpg) в) Имеем
![Al91627.jpg](/images/b/bd/Al91627.jpg) Из этого уравнения находим а1 = 159. г) Имеем
![Al91628.jpg](/images/e/e7/Al91628.jpg) Из этого уравнения находим: 14d = -42, d = -3. О т в е т: а) а22 = 89; б) п = 41; в) а1 = 159; г) d = -3. Пример 5. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается 7; при делении десятого члена прогрессии на ее пятый член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти двадцатый член этой прогрессии. Решение. Первый этап. Составление математической модели. Условия задачи можно кратко записать так:
![Al91629.jpg](/images/f/fe/Al91629.jpg) Воспользовавшись (несколько раз) формулой п-го члена арифметической прогрессии, получим:
![Al91630.jpg](/images/8/8d/Al91630.jpg) Тогда второе условие задачи (а9 = 7а2) можно записать в виде
![Al91631.jpg](/images/2/26/Al91631.jpg) Третье условие задачи (а10= 2а5 + 5) можно записать в виде
В итоге получаем очень простую систему двух линейных уравнений с двумя переменными а1 и d:
![Al91633.jpg](/images/a/ac/Al91633.jpg) которая в сочетании с записанным выше условием 1) и представляет собой математическую модель задачи. Второй этап. Работа с составленной моделью. Решая систему, находим a1 = 1, d = 6. Теперь мы можем записать арифметическую прогрессию 1,7, 13,19, 25,31,.... Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Требуется вычислить а20. Имеем ![Al91634.jpg](/images/1/1c/Al91634.jpg) О т в е т: а20 = 115. Замечание. В рассмотренном примере речь шла о конкретной математической модели — арифметической прогрессии. Первый этап решения мы назвали, как обычно, «составление математической модели». Получается, что мы составили математическую модель для математической модели. Как это понимать? Дело в том, что при решении задач очень часто приходится заменять одну математическую модель другой, более простой. Так обстоит дело и в рассмотренной задаче: математическую модель, оформленную в виде условий 1), 2) и 3), нам удалось заменить более привычной моделью — системой уравнений. 3. Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии. Пусть дана конечная арифметическая прогрессия
![Al01635.jpg](/images/0/06/Al01635.jpg) Обозначим через Sn сумму ее членов, т.е.
![Al91636.jpg](/images/6/66/Al91636.jpg) Выведем формулу для нахождения этой суммы. Для начала заметим, что ![Al91637.jpg](/images/a/a4/Al91637.jpg) В самом деле, по определению арифметической прогрессии,
![Al91638.jpg](/images/a/a7/Al91638.jpg) Аналогично можно установить, что и вообще что сумма члена, находящегося на к-м месте от начала конечной арифметической прогрессии, и члена, находящегося на к-м месте от ее конца, равна сумме первого и последнего членов прогрессии. Рассмотрим конкретный пример отыскания Sn. Дана конечная арифметическая прогрессия 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100. Сумму ее членов вычислим следующим образом:
![Al91640.jpg](/images/6/66/Al91640.jpg) Замечание. Рассказывают, что немецкий математик XIX века Карл Фридрих Гаусс додумался до приведенного выше решения примера в возрасте 5 лет. Применим аналогичную идею для произвольной арифметической прогрессии. Имеем:
![Al91641.jpg](/images/5/55/Al91641.jpg) Сложив эти два равенства, получим
![Al91642.jpg](/images/1/10/Al91642.jpg) В правой части равенства п пар слагаемых, каждая пара, как мы установили выше, равна а1 + аn. Значит, получаем
![Al91643.jpg](/images/5/59/Al91643.jpg) Это — формула суммы п членов арифметической прогрессии. Пример 6. Дана конечная арифметическая прогрессия
![Al91644.jpg](/images/b/b4/Al91644.jpg) Р е ш е н и е. а) Имеем
![Al91645.jpg](/images/7/70/Al91645.jpg) б) Сначала найдем
В итоге получаем, что а8 = 28. А теперь применим к а8 формулу п-го члена арифметической прогрессии а8 = а1 + 16,, т.е. 28 = 7 + d, откуда находим d = 3.
О т в е т: а) S22= 1034; б) d = 3. Пример 7. Найти сумму всех четных трехзначных чисел. Решение. Речь идет о сумме членов конечной арифметической прогрессии 100,102,104,..., 998. У этой прогрессии а1 = 100, ап = 998, d = 2. Нужно вычислить 8п, но для этого сначала надо узнать, чему равно п, т.е. сколько членов содержится в указанной конечной арифметической прогрессии. Имеем последовательно:
![Al91647.jpg](/images/4/40/Al91647.jpg) Итак, а1 = 100, п = 450, ап = 998. Наша задача — вычислить
![Al91648.jpg](/images/8/87/Al91648.jpg) Имеем
![Al91649.jpg](/images/5/59/Al91649.jpg) Ответ: 247 050. Иногда оказывается полезной несколько видоизмененная формула суммы п членов арифметической прогрессии. Если в формуле для Sn учесть, что аn = а1 + d(п - 1), то получим
![Al91650.jpg](/images/5/5d/Al91650.jpg) Пример 8. Турист, двигаясь по сильно пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 м, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь, равный 5700 м? Решение. Первый этап. Составление математической модели. За первый час турист прошел 800 м, за второй — 775 м, за третий — 750 м и т.д. Математической моделью является конечная арифметическая прогрессия Файл:Al91651.jpg
у которой а1 = 800, d = -25, Sn = 5700. Надо найти п (в часах — время движения туриста). Второй этап. Работа с составленной моделью. Воспользуемся второй формулой для Sn
![Al91652.jpg](/images/4/49/Al91652.jpg) Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Спрашивается, сколько времени был в пути турист. По смыслу задачи из двух найденных значений п выбираем первое: п = 8.
Ответ: турист был в пути 8 часов.
4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Пусть дана арифметическая прогрессия а1 , а2, а3,..., ап,.... Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом: ап1, ап, аn+1. Известно, что
![Al91653.jpg](/images/7/7e/Al91653.jpg) Сложив эти равенства, получим
![Al91654.jpg](/images/4/49/Al91654.jpg) Это значит, что каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего)равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность (аn) такова, что для любого п > 1 выполняется равенство
![Al91655.jpg](/images/6/6c/Al91655.jpg) то (аn) — арифметическая прогрессия. В самом деле, последнее равенство можно переписать в виде
![Al91656.jpg](/images/2/2f/Al91656.jpg) Это значит, в частности, что . Иными словами, разность между любым членом последовательности и предшествующим ему всегда одна и та же, а это и означает, что задана арифметическая прогрессия. Тем самым мы доказали следующую теорему. Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Пример 9. При каком значении х числа Зх + 2, dх - 4 и dх + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию? Решение. Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
![Al91658.jpg](/images/5/5f/Al91658.jpg) Решая это уравнение, находим:
![Al91659.jpg](/images/c/ce/Al91659.jpg) При этом значении х заданные выражения Зх + 2, 5х - 4, 11х + 12 принимают соответственно значения -14,5, -31,5, -48,5. Это арифметическая прогрессия, ее разность равна -17.
О т в е т: х = -5,5.
А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс
Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|