Версия 15:35, 8 февраля 2011

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Окружность, описанная около треугольника. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Окружность, описанная около треугольника.

Цели урока:

• Углубить знания по теме «Описанная окружности в треугольниках»

Задачи урока:

• Систематизировать знания по этой теме
  
• Подготовиться к решению задач повышенной сложности.
  

План урока:

1. Введение.
   
2. Теоретическая часть.
3. Для треугольника.
4. Практическая часть.
   

Введение.

Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.

Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы.
Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.

Теоретическая часть.

Описанная окружность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства.

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Для треугольника.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Окружность, описанная вокруг треугольника

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

Остроугольный	Тупоугольный	Прямоугольный

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам:

Где:
a,b,c — стороны треугольника,
α — угол, лежащий против стороны a,
S — площадь треугольника.

Файл:T.gif Теорема. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.

Доказательство.

Пусть ABC – данный треугольник и O – центр окружности описанной около данного треугольника. Δ AOB – равнобедренный ( AO = OС как радиусы). Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину. Так же доказывается, что центр окружности на перпендикулярах к другим сторонам треугольника.

Теорема доказана.

Рассмотрим подробнее этот случай.
Дано:

ΔABC, окр (О, ОА) - описана около ΔABC

Файл:08022011 7.gif

Доказать:

т.О - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ΔABC

Доказательство:

1. ΔAОC - равнобедренный, т.к. ОА=ОС (как радиусы)
   
2. ΔAОC - равнобедренный, перпендикуляр OD - медиана и высота, т.е. т.О лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС
3. Аналогично доказывается, что т.О лежит на серединных перпендикулярах к сторонам АВ и ВС

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Файл:T.gif Теорема. Теорема об окружности, описанной около треугольника. Около любого треугольника можно описать окружность.

Дано:

АВС — данный треугольник; О — точка пересечения серединных перпендикуляров (рис. 31).

Доказать:

О — центр окружности, вписанной в АВС.

Доказательство:

Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА=OB=ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.

Замечание.

Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от вершин треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Практическая часть.

Задача №1.

Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O.

Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.

Дано:

∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ∠ ACB = 75˚,
площадь ∆ BOC равна 16
Найти:

Радиус описанной окружности

Решение:

Проведем медианы AF, CE, BH
∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный
ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ = 15˚
BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚
ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚

S =  1/2 ∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника),

S_BOC = 1/2 ∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ =  1/2 ∙ R ∙ R ∙ 1/2  =  1/4 ∙ R² ;

1/4  ∙ R² = 16;

R² = 16 : 1/4  = 64;

R =  8

Ответ: R = 8

Задача №2.

Треугольник BMP с углом B, равным 45˚, вписан в окружность радиуса 6.

Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.

Решение:
ﮮ MOP = 2 ﮮMBP
ﮮ MOP = 2 ∙ 45˚ = 90˚, следовательно, ∆ MOP – прямоугольный
MP² = OM² + OP²
MP² = 62 + 62 = 36 + 36 = 36 ∙ 2
MP =
MK = KP = 0,5 ∙ MP
MK = KP = 0,5 ∙ =
MK ∙ KP = BK ∙ KC
∙  = BK ∙ 3
BK ∙ 3 = 9 ∙ 2
BK ∙ 3 = 18
BK = 6
Ответ: BK = 6

Задача №3.

Остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром O и радиусом 10. Найдите площадь треугольника BOC.

Решение:

Ответ: S_BOC = 40

Интересный факт:

Софизмы.

Софизм – это последовательность высказывания, рассуждений, построений, содержащая скрытую ошибку, за счет чего удается сделать неверный вывод. Задача обычно заключается в том, чтобы найти ошибку в рассуждениях.

Найдите ошибку в «доказательстве» того «странного» факта, что окружность имеет два центра.

Доказательство.

Пусть даны две непараллельные прямые a и b. Из точек А и В этих прямых   поставим перпендикуляры до пересечения в точке С. Через три точки А, В и С проведем окружность, пересекающую прямую а в точке М, а прямую b в точке N. По построению ∠MAC = ∠NBC = 900, значит, эти углы опираются на диаметры МС и NC построенной окружности. Середины этих диаметров –  точки О1 и О2 – центры одной и той же окружности.

Ошибка в следующем:

∠MAC = ∠NBC = 900 (по построению). Эти углы являются вписанными и опирающимися на одну и туже дугу (в нашем случае, на полуокружность), поэтому точки О1 и О2 совпадают и лежат на отрезке DC (DC – биссектриса угла ADB).

Вопросы:

1. Сформулируйте определение окружности и круга?
2. Что такое Софизмы?
   
3. Какая разница между диаметром и радиусом?
4. Как найти радиус окружности какая описана около треугольника?

Список использованных источников:

1. Урок на тему "Наглядная геометрия" Автор: Самылина Марина Валентиновна., г. Киев
2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.