Версия 20:49, 28 июля 2009

ДОСЯГНИ МЕТИ ПЕРШИМ

Математики різних часів і народів намагалися створити алгоритми для перемоги в різноманітних іграх. Одні робили це з чисто наукового інтересу, інші — з надією розбагатіти завдяки перемозі в азартних іграх, особливо іграх в карти. Математики сподівалися розбагатіти, використовуючи у своїй грі надійні алгоритми.

Виявляється, що не для будь-якої гри можна скласти алгоритм, який завжди забезпечить перемогу. Це стосується тих ігор, хід яких залежить від випадкових подій (наприклад, ігор у карти), а також ігор, в яких кількість можливих варіантів надзвичайно велика (наприклад, шахи).

Проте є багато ігор, повністю досліджених. Для них існують алгоритми-стратегії, користуючись якими можна завжди перемогти, незалежно від дій суперника. Можна також, не розпочинаючи гру, визначити, що при заданих початкових умовах і правильних діях суперника перемогти неможливо.

Розглянемо один з прикладів такої гри.

Є горизонтальний ряд з 15 клітинок. У крайній лівій клітинці стоїть фішка. У грі беруть участь двоє гравців, які роблять хід по черзі. За один хід можна пересунути фішку вправо па одну, дві або три клітинки. Виграє той, хто поставить фішку в крайню праву клітинку.

Для зручності, пронумеруємо клітинки зліва направо числами від 1 до 15.

Щоб перемогти, необхідно своїм ходом поставити фішку в 15-у клітинку. Оскільки пересувати фішку можна на одну, дві або три клітинки, хід у 15-у клітинку може бути зроблений або з 14-ї, або з 13-ї, або з 12-ї клітинки. Отже, необхідно примусити суперника поставити фішку в одну з цих трьох клітинок. А для цього ми повинні свій попередній хід зробити в 11-у клітинку.

Дійсно, якщо фішка знаходиться в 11-й клітинці, то, за правилами гри, суперник може зробити з неї хід тільки в 12-у, 13-у або 14-у клітинку. Отже, якщо передостаннім ходом ми поставимо фішку в 11-у клітинку, то при будь-якому ході-відповіді суперника ми зможемо поставити фішку в 15-у клітинку і перемогти.

Міркуємо аналогічним чином далі.

Для того, щоб за будь-яких обставин ми мали змогу поставити фішку в 11-у клітинку, вона повинна перед нашим ходом знаходитись або в 10-й, або в 9-й, або у 8-й клітинці. Тобто, ми повинні змусити суперника поставити фішку в одну з цих трьох клітинок. А для цього своїм иопсреднімходом нам необхідно поставити фішку в 7-у клітинку. Тоді, якщо суперник пересуне фішку па одну клітинку, ми пересунемо її на 3; якщо він пересуне фішку на 2 клітинки, ми пересунемо її теж на 2; якщо ж він пересуне фішку на 3 клітинки, ми пересунемо її на 1. При такому алгоритмі гри фішка обов'язково опиниться в 11-й клітинці.

Проводячи аналогічні міркування, бачимо, що для того, аби ми змогли зробити хід у 7-у клітинку, свій попередній хід ми повинні -, зробити в 3-ю клітинку. А цю клітинку ми можемо зайняти фішкою вже першим ходом, якщо він наш. Для цього треба пересунути першим ходом фішку на 2 клітинки.

З наведених вище міркувань випливає, що існують клітинки, пос-лідонно займаючи які, ми нпевгіепо наближатимемося до перемоги, незалежно від ходів нашого суперника. Такими є 3-я, 7-а, 11-а і 15-а клітинки. Назвемо умовно їх виграшними.

Відстані між послідовними виграшними клітинками однакові і дорівнюють 4. Тому наш хід-відповІдь на хід суперника повинен бутті таким, щоб сума відстаней двох ходів (ходу суперника та нашого ходу-відповіді) становила 4 клітинки.

Отже, гравець, який починає гру, завжди переможе, якщо використає такий алгоритм:
1. Пересунути першим ходом фішку на 2 клітинки.
2. Поки не досягнемо останньої клітинки, якщо суперник пересунув фішку па х клітинок, пересунути її на (4 — х) клітинок.

Проводячи аналогічні міркування, визначте виграшні клітинки і алгоритм гри, якщо довжина поля 16 клітинок.

Дещо інша ситуація виникне, якщо довжина поля 17 клітинок. Міркуючи аналогічно, з'ясовуємо, що виграшними є клітинки 17-а, 13-а, 9-а, 5-а і 1-а. Але гравець, який ходить першим, не може зробити хід ні в 1-у, ні в 5-у клітинку. Це означає, що в цій грі для нього виграшної стратегії не існує. Він може виграти тільки тоді, коли ного суперник деяким своїм ходом не займе одну з виграшних клітинок.

Визначте виграшні клітинки і алгоритм гри, якщо довжина поля 18,19, 20, 30 клітинок.

Визначте виграшні клітинки і алгоритм гри, якщо довжина поля 15, 16,17,18,19, 20, 30 клітинок і гравець за один хід може пересунути фішку на одну, дві, три або чотири клітинки.

 акселеративні методи на уроці                         національні особливості
 виділити головне в уроці - опорний каркас             нічого собі уроки
 відеокліпи                                            нова система освіти
 вправи на пошук інформації                            підручники основні допоміжні
 гумор, притчі, приколи, приказки, цитати              презентація уроку
 додаткові доповнення                                  реферати
 домашнє завдання                                      речовки та вікторизми
 задачі та вправи (рішення та відповіді)               риторичні питання від учнів
 закриті вправи (тільки для використання вчителями)    рівень складності звичайний І
 знайди інформацію сам                                 рівень складності високий ІІ 

 ідеальні уроки                                      рівень складності олімпійський III
 ілюстрації, графіки, таблиці                          самоперевірка
 інтерактивні технології                               система оцінювання
 календарний план на рік                               скласти пазл з різних частин інформації
 кейси та практикуми                                   словник термінів 
 комікси                                               статті
 коментарі та обговорення                            тематичні свята
 конспект уроку                                        тести
 методичні рекомендації                                шпаргалка 
 навчальні програми                                    що ще не відомо, не відкрито вченими