Гіпермаркет Знань>>Математика>>Математика 5 клас>> Математика: Рівняння.
18. Рівняння
Розглянемо задачу.
На одній шальці терезів лежить кавун і гиря масою 2 кг, а на іншій — гиря масою 5 кг (рис. 52). Терези зрівноважені. Яка маса кавуна?
Нехай маса кавуна х кг, тоді маса кавуна і гирі, що лежать на одній шальці терезів, дорівнює (х + 2) кг. Оскільки маса гирі, що лежить на іншій шальці, дорівнює 5 кг і терези перебувають у рівновазі, то виконується рівність
х + 2 = 5. Маємо рівність, що містить невідоме число.

Рівність, що містить невідоме число, називають рівнянням.
Розв'яжемо одержане рівняння, тобто знайдемо невідоме число х. Щоб знайти невідомий доданок, потрібно від суми відняти відомий доданок, Хрму: х = 5~2;х = 3. Отже, маса кавуна дорівнює 3 кг.
Знайдене значення невідомого називають коренем, або розв 'язком, рівняння.
Значення невідомого, за якого рівняння перетворюється у правильну числову рівність, називають коренем, або розв'язком, рівняння.

Розв'язати рівняння означає знайти всі його корені або показати, що їх немає.
х + 2 = 5 — рівняння З — корінь цього рівняння
Зазначимо, що рівняння х + 2 = 5 має лише один корінь — число 3. Якщо х = 3, тох + 2 = 3 + 2 = 5 і рівняння х + 2 = 5 перетворюється у правильну числову рівність 5 = 5. За інших значень х відповідні числові рівності будуть неправильними. Наприклад, якщо х = 4, то х + 2 = 4 + 2 = 6 і рівняння х + 2 = 5 перетворюється в числову рівність 6 = 5, яка є неправильною. У такому випадку пишуть: 6*5 (знак «*» читають: не дорівнює).

Для тих, хто хоче знати більше
Розв'язування багатьох задач можна звести до розв'язування рівнянь. Розглянемо, наприклад, таку задачу.
Задача. Батькові 36 років. Якщо вік сина помножити на 3 й отриманий добуток збільшити на 3 роки, то отримаємо вік батька. Скільки років синові?
Розв 'язання. Нехай синові х років. Тоді х • 3 — вік сина, помножений на 3, а х • 3 + 3 — добуток, збільшений на 3 роки. За умовою задачі значення виразу х • 3 + 3 дорівнює 36. Маємо рівняння: х • 3 + 3 = 36.
Розв'яжемо одержане рівняння:
х-3 + 3 = 36;  х-3 = 36-3;   х-3 = 33;  х = 33:3;  х=11.
Отже, синові 11 років.

Перевіримо розв'язок задачі. Знайдений вік сина — 11 років помножимо на 3 й добуток збільшимо на 3 роки: 11 • 3 + 3 = 33 + 3 = 36. Одержали вік батька, який відповідає умові задачі.
Відповідь. 11 років.

Прочитай
1.          Які з чисел 5, 8, 10 є коренями рівняння Зх - 10 = 14?
• Якщо х = 5, то Зх- 10 = 3-5-10 = 5; 5 * 14. Число 5 не є коренем рівняння.
Якщох = 8, тоЗх-10 = 3-8-10 = 14; 14= 14. Число 8 є коренем рівняння.
Якщо х~ 10, то Здг—10 = 3 • 10- 10 = 20; 20* 14. Число 10 не є коренем рівняння. • 2.         Розв'язати рівняння (х+ 11) - 15 = 12.
• Виразх + 11 є зменшуваним, тому х + 11 = 12 + 15; х+ 11 = 27; х = 27-11;х= 16.
Перевірка. (16+ 11)-15 = 27--15= 12;  12= 12.

Усно
425.      Яке з чисел 2, 3, 4 є коренем рівняння:
а)8-х = 5;                                        б)2х + 3=11?
426.      Вкажи рівняння, для яких число 7 є коренем: а)7х = 42;                                         б) 21-х =14; в)х-5 + 15 = 50;                                г)56:х-7 = 0.
427.      Гра «Яке число задумане».
а) Якщо до задуманого числа додати 11, то отримаємо 23.
б) Якщо від задуманого числа відняти 7, то матимемо 18.
в) Якщо задумане число помножити на 6, то одержимо 54.
г) Якщо задумане число поділити на 5, то отримаємо 12.

Рівень А
428.      Яке із чисел 3, 28, 35 є коренем рівняння:
а) 2 • (х +2)+ 10 = 70;                         б) 134-4 • (х-2) = 2?
Яке із чисел 5, 12, 32 є коренем рівняння:
а) (х + 3) • 4 + 12 = 72;                         б) 42 + 2 • (48 -х) = 74?
429.
Розв 'яжи рівняння:
430.      а)х + 25 = 81;                 б)36 + х = 53;                в)45-х=19;
г)х-41=39;                 д)х-6 = 72;                   е)16х = 256;
с)х:4=15;                    ж)126:х = 9;                 з)х:12 = 0.
а)х + 23 = 51;                 б)67+х = 79;                в)54-х = 31;
 г)х-16 = 92;                  д)5х = 205;                    е)х-3 = 12;
є)х: 6 = 6;                      ж)20:х=1;                  з)10х = 0.
432.     Знайди невідоме число, якщо:
а)х + 7 = 33;                   6)^-15 = 100;
г) t • 3 = 12;                    д) и : 6 = 60;

Рівень Б
b)50-z = 9; є) 20: v=5.

Розв 'яжи рівняння:
433.     а)(у-25)+15 = 126;
в)х: 5-148 = 47; а)(7+х) + 59 = 99; в) 128 -(* + 29) = 79;
а) 3 • 8л: = 72;
в) 7-8л-25 = 1400;
а) 12х • 6 = 72;
в) 16-25 -Зх = 6000;
а)2х + 6х = 104;
в) 12х-8х = 96;
а) 7х + 5х = 60;
в)8х-4х+18х = 88;

439. Чи мають корені рівняння: 5х 440

б) 95 - (z + 3) = 36; г)6/ + 311 =635. б) (83 -у) + 46 = 71;
г)х-5 + 18 = 198. б) 4х • 18 • 5 = 0; г)800:(2-25-8х)=1. 6)5-3x20= 1200; г)(16х- 125-2): 100 =
б)9х+3х + 8х = 60; г)43х-15х-18х = 70. б)9х-3х = 72; г)14х + 7х-3х=108. 0; 0 : х = 1; 5 : х = 0?
320.
Знайди таке значення а, щоб число х = 14 було коренем рівняння: а) а + х = 60;                  

б) х + 8 = а:                    в) х - 7 = а.
Задачі 441-443 варто розв язувати складанням рівнянь.
441.      Суму числа 24 і невідомого числа збільшили у 6 разів й одержали число
180. Знайди невідоме число.
Якщо невідоме число зменшити у 4 рази і до результату додати 50, то
одержимо 82. Знайди невідоме число.
Олег задумав число, додав до нього 1, суму помножив на 5 і одержав 35.
Яке число задумав Олег?
1442. 443.

Здогадайся
444. У коробці 2 пари чорних і 4 пари білих шкарпеток. Яку найменшу кількість шкарпеток потрібно витягнути з коробки, не заглядаючи в неї, щоб серед витягнутих шкарпеток гарантовано була хоча б одна пара шкарпеток однакового кольору?

Вправи для повторення
445.       Турист ішов протягом 3 год 35 хв, далі 25 хв відпочивав, після чого за 2 год 40 хв дійшов до кінцевого пункту. У скільки разів час відпочинку коротший від часу руху?

446.       Три зошити і ручка коштують 2 грн. 30 к., а чотири зошити і ручка — 2 грн. 80 к. Скільки коштує зошит і скільки коштує ручка?

447.       Порівняй числа і результат запиши за допомогою знаків «<» або «>»: а) 500 382 і 509 143;        б) 3 212 140 і 999 998;     в) 349 052 і 350 942.

Для тих, хто хоче знати більше
Нерівності
Розглянемо задачу.
На одній шальці терезів лежить кавун, а на іншій — гиря масою 5 кг (рис. 53). Гиря переважує кавун. Яку масу може мати кавун, якщо відомо, що ця маса дорівнює цілому числу кілограмів?                                           рис gg
Невідому масу кавуна позначимо через х кг. Оскільки гиря переважує кавун, то маса кавуна менша, ніж 5 кг. Це можна записати так: х < 5.

Отримали нерівність, що містить невідоме. Якщо в цю нерівність замість х підставляти числа, то можна отримати як правильні, так і неправильні числові нерівності:
0<5; 1 <5;2<5;3<5;4<5 — правильні нерівності;
5 < 5; 6 < 5; 7 < 5;... — неправильні нерівності.
Числа 0, 1,2, 3,4 називають розв'язками нерівності х < 5.
Ті значення невідомого, за яких нерівність є правильною, називають розв'язками нерівності.
Отже, маса кавуна може дорівнювати 1, 2, 3 або 4 кілограми (розв'язок 0 нерівності х < 5 не враховуємо, бо кавун не може мати масу 0 кг).

Розглянемо ще нерівність 2х+1<10. її розв'язком є, наприклад, число 2, бо 2-2+1=5, а 5 < 10 — правильна числова нерівність. Число 5 не є розв'язком цієї нерівності, бо 2-5+1 = 11, а 11 < 10 — неправильна числова нерівність.
Якщо ми хочемо точніше знайти масу кавуна, про який ідеться, то замість гирі масою 5 кг можна покласти гирю меншої маси. Нехай замість неї ми поклали гирю масою 2 кг і при цьому кавун переважив гирю (рис. 54).
Якою нерівністю можна записати цю умову? Назвіть кілька натуральних розв 'яз-ків записаної нерівності.
Цю умову можна записати у вигляді нерівності: х > 2. Натуральними розв'язками цієї нерівності є числа 3,4, 5, 6,....
Отже, про масу кавуна відомо, що вона більша, ніж 2 кг, і менша, ніж 5 кг, тому вона може дорівнювати 3 кг або 4 кг.
Якщо невідоме число більше, ніж 2, і менше, ніж 5, то таку умову можна записати у вигляді нерівності:
2<х<5.

Розв'язками цієї нерівності є числа 3 і 4.
Поряд з нерівностями, утвореними за допомогою знаків «>» або «<», розглядають також нерівності зі знаком «<», який читається «менше або дорівнює», або зі знаком «>», який читається «більше або дорівнює». Наприклад, розв'язками нерівності:
х < 5 є числа, які менші або дорівнюють 5, тобто 0; 1; 2; 3; 4; 5;
х > 5 є числа 5; 6; 7; 8;...;        2 < л: < 5 є числа 2; 3; 4;
2<х< 5 є числа 3; 4; 5;             2<jc<5 є числа 2; 3;4; 5.

Прочитай
Які з чисел 5, 11, 12 є розв'язком нерівності х - З > 8?
• Якщо х = 5, тод:-3 = 5-3 = 2;2>8 — неправильно; число 5 не є розв'язком нерівності.
Якщо jc = 11, то лг — 3 = 11—3 = 8;8>8 — неправильно; число 11 не є розв'язком нерівності.
Якщо х = 12, то х - 3 = 12-3 = 9; 9>8 — правильно; число 12 — розв'язок нерівності. •
448.       Які з чисел 3, 5, 10 є розв'язком нерівності:
а)х + 37>42;                   б) 120 -х > 115;              в)7-х-3<32?

449.       Вкажи нерівності, для яких число 4 є розв'язком:
а)х>3;                             б)х<3;                            b)jc<4;
г)х>4;                             д)4<х<7;                      е)4<х<7;
є) 2 < х < 9;                       ж) 1 < х < 4;                     з) 5 < х < 1.

Які натуральні числа єрозв 'язками нерівності:
450.     а)х<6;                          б)х<5;                          в)2<х<6;
г)1<х<7;                    д)3<х<8;                    е)4<х<8?
а)х<3;                          б) х < 7;                          в)3<х<7;
г)2<х<6;                    д)6<х<9;                    е)2<х<5?
452.      Запиши кілька значень к, для яких нерівність 20 - к > 5 є неправильною.
453.      Добери по два розв'язки для кожної з нерівностей: а)2х<6;                        б)х+1<5;                    в)х-3<3; г)2х>12;                         д)2<2х<6;                    е)4<х+1<8.
454.      Маса семи цукерок більша від 100 г, але менша від 125 г. Відомо, що маса однієї цукерки дорівнює цілому числу грамів. Якою може бути маса однієї цукерки? 

_{Завдання та відповіді з математики по класам, планування уроків з математики 5 класу, домашнє завдання та робота}

Зміст уроку
 конспект уроку і опорний каркас                      
 презентація уроку 
 акселеративні методи та інтерактивні технології
 закриті вправи (тільки для використання вчителями)
 оцінювання 

Практика
 задачі та вправи,самоперевірка 
 практикуми, лабораторні, кейси
 рівень складності задач: звичайний, високий, олімпійський
 домашнє завдання 

Ілюстрації
 ілюстрації: відеокліпи, аудіо, фотографії, графіки, таблиці, комікси, мультимедіа
 реферати
 фішки для допитливих
 шпаргалки
 гумор, притчі, приколи, приказки, кросворди, цитати

Доповнення
 зовнішнє незалежне тестування (ЗНТ)
 підручники основні і допоміжні 
 тематичні свята, девізи 
 статті 
 національні особливості
 словник термінів                          
 інше 

Тільки для вчителів
 ідеальні уроки 
 календарний план на рік 
 методичні рекомендації 
 програми
 обговорення

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.