KNOWLEDGE HYPERMARKET


Тригонометрические уравнения

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Тригонометрические уравнения


§ 20. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1. Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида aAlga331.jpg — действительное число. К настоящему моменту мы знаем, что:
1)    если | а | < 1, то решения уравнения соз о:-а имеют вид:

Alga332.jpg   
Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n, к и т.д.) принимает любые целочисленные значения Alga333.jpg
К простейшим относят обычно и уравнения вида Т(кх + m)=а, где Т — знак какой-либо тригонометрической функции.
Пример 1. Решить уравнения:

Alga334.jpg
Решение: а) Введем новую переменную Alga335.jpg
Возвращаясь к переменной х, получаем: Alga336.jpg Осталось обе части этого равенства разделить почленно на 2; получим:

Alga337.jpg
Заметим, что при наличии некоторого опыта можно не вводить промежуточную переменную t = 2х, а сразу переходить от уравнения Alga338.jpg
Именно так мы и будем действовать в дальнейшем.
б) Мы знаем, что решения уравнения соs t = а имеют вид:Alga339.jpg Для нашего примера это означает, что

Alga340.jpg
Пример 2. Найти те корни уравнения Alga341.jpg которые принадлежат отрезку[0, п].
Решение. Сначала решим уравнение в общем виде: Alga342.jpg (см. пример 1а). Далее придадим параметру п последовательно значения 0,1, 2,..., -1, -2,... и подставим эти значения в общую формулу корней.
Alga343.jpg
Это число не принадлежит заданному отрезку [0, п]. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при n = -2, -3,...
На рис. 94 представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.

Alga344.jpg
Итак, заданному отрезку [0, п] принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра n: n = 0, n = 1. Эти корни таковыAlga345.jpg
Ответ: Alga345.jpg

Пример 3. Найти те корни уравнения Alga346.jpg которые принадлежат отрезку Alga347.jpg
Решение: Сначала решим уравнение в общем виде: Alga348.jpg (см. пример 16). Далее придадим параметру п последовательно значения 0,1, 2,..., -1, -2,... и подставим эти значения в общую формулу корней.
Alga349.jpg , поскольку оба они больше числа л. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при п = 3,4,...

Alga350.jpg
Не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при п = -2, - 3,...
На рис. 95 представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.

Alga351.jpg
Итак, заданному отрезку Alga352.jpg принадлежат следующие корни уравнения

Alga353.jpg

2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений
Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используются два метода: введения новой переменной и разложения на множители.
Вернемся к материалу § 16. Там в примере 3 мы решили тригонометрическое уравнение Alga354.jpg Как мы это сделали? Ввели новую переменную z = sin t, переписали уравнение в виде
Alga355.jpg В результате мы получили два простых уравнения: Alga356.jpg Первое уравнение не имеет решений, а для второго нашли две серии решений:

Alga357.jpg  и установили (см. § 18), что эти две серии можно объединить одной формулой Alga358.jpg
В том же § 16 в примере 4 мы решили тригонометрическое уравнение

Alga359.jpg

Пример 4. Решить уравнение

Alga360.jpg

Решение. Поскольку Alga361.jpg есть смысл ввести новую переменную Alga362.jpg  Это позволит переписать уравнение в более простом виде: Alga363.jpg
Имеем:

Alga364.jpg

Возвращаясь к переменной х получаем два уравнения:

Alga365.jpg

Теперь поговорим о втором методе решения тригонометрических уравнений — методе разложения на множители. Смысл этого метода вам знаком: если уравнение f(х) =0 возможно преобразовать к виду

Alga366.jpg то задача сводится к решению двух уравнений (обычно говорят — к решению совокупности уравнений):

Alga367.jpg
Пример 5. Решить уравнение   Alga368.jpg
Решение. Задача сводится к решению совокупности уравнений:

Alga369.jpg
Из этих уравнений находим соответственно:

Alga370.jpg
Пример 6. Решить уравнение Alga371.jpg.

Решение. Имеем Alga372.jpg Значит, приходим к совокупности уравнений:

Alga373.jpg
Замечание. Учтите, что переход от уравнения Alga374.jpg к совокупности уравнений: Alga375.jpg не всегда безопасен. Рассмотрим, например, уравнение Alga376.jpg Из уравнения tg x = 0 находим
х = пn; из уравнения sin x = 1 находим Alga377.jpg Но включить обе серии решений в ответ нельзя. Дело в том, что при значениях Alga377.jpg входящий в заданное уравнение множитель tg х не имеет смысла, т.е. значения
Alga377.jpg не принадлежат области определения уравнения (области допустимых значений уравнения — ОДЗ), это — посторонние корни.
3. Однородные тригонометрические уравнения
Здесь мы познакомимся с довольно часто встречающимися на практике тригонометрическими уравнениями специального вида.
Определение. Уравнение вида: Alga378.jpg называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида: Alga379.jpg называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причем рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента а и Ъ отличны от нуля, так как, если а =0, уравнение принимает вид Alga380.jpg такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при Ь=0 получаем sin х =0, что тоже не требует отдельного обсуждения.
Итак, дано уравнение Alga381.jpg Разделив обе части уравнения почленно на соs x, получим:

Alga382.jpg
В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению

Alga383.jpg
Внимание! Вообще-то делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в нашем уравнении соз х отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что соз х =0. Тогда однородное уравнение а sin х+Ь соз х=0 примет вида зтдг=0, т.е. зщх=0 (вы ведь не забыли, что коэффициент а отличен от нуля). Получается, что и соз х=0, и зш л: =0, а это невозможно, так как зтх и соззс обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения насозх— вполне благополучная операция.
Уравнения вида а зт тх+Ь соз тх=0 тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения делят почленно на соз тх.
Пример 7. Решить уравнение 2 sin х-3соз х=0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на соз х, получим:


95
3    3
21§лс-3=0, л: = —, лс = агс 1%- + пп.
2 2
3
Ответ: х = агс1е- + пп.
2
Пример 8. Решить уравнение 8т2лс + со82лс =0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно насо82лс, получим: 182*+ 1=0, 1&2х=-1, 2х = агс1ё(-1)+ пп,
„л    п пп
2х = — + пп, х = — + —.
4    8 2
^    п пп
Ответ: х ----1--.
8 2_^
Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени:
а 81П2 х+Ь 81П x соз Х+С соз2 X =0.
Если коэффициент а отличен от нуля, т.е. в уравнении содержится член зт2 х с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной сое хне обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на сое2 х. Что это даст? Смотрите:
а 81п2 X Ь 81п X соз X С соз2 X 0
сов2 X    соз2 X    сов2 X соз2 X
т.е. а 1§2х+Ь х+с =0.
Это — квадратное уравнение относительно новой переменной г = 1%х.
Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении
а 81п2 Х + Ь 81п X соз Х + С соз2 X =0
коэффициент а равен 0, т.е. отсутствует член азт2 х. Тогда уравнение принимает вид:
Ь 81п X соз х + ссоз2 Х = 0.
Это уравнение можно решить методом разложения на множители: с08 X (Ъ 81п Х + С соз X) =0, соз X = 0 или Ъ 81п Х + С соз X =0.
Получились два уравнения, которые мы с вами решать умеем. Аналогично обстоит дело и в случае, когдас =0, т.е. когда однородное уравнение имеет вид а зт2 х+Ь зт х соз х=0 (здесь можно вынести за скобки зтх).
Фактически мы выработали
96
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ автгх+Ь 81П хсоз х+ссоа2 х=0:
1.    Посмотреть, есть ли в уравнении член азт2 х.
2.    Если членавт2 хв уравнении содержится (т.е. а Ф 0), то уравнение решается делением обеих его частей на сое2 х и последующим введением новой переменной г = х.
3.    Если член азт2 х в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят совх.
Так же обстоит дело и в однородных уравнениях вида: а 81П2 тх+Ъ 8111 тхсовтх+с сов2 тх=0.
Пример 9. Решить уравнение
81П2 лс - 3 81П л: соз х+ 2 сое2 х = 0.
Решение. Разделив обе част^ уравнения почленно на соз2 х, получим 1^х-31§ х + 2=0. Введя новую переменную г=Щх, получим г2 -Зг + 2=0, откуда находим г1 = 1, г2 =2. Значит, либо {%х = 1, либо 1%х=2. Из первого уравнения находим:
х = агс1ё 1 + пп, т.е. х = — + пп.
Из второго уравнения находим: х = агс1§ 2 + пп. п
Ответ: х = — + пп\ х = агс1§ 2 + пп. 4
Пример 10. Решить уравнение
•у/Ззтлссовлс + соз2 х=0.
Решение. Здесь отсутствует член вида а зш2 х, значит, делить обе части уравнения на соз2 х нельзя. Решим уравнение методом разложения на множители. Имеем:
совх(4з 8Н1л; + со8л;)=0, т.е. соз х = 0 или 73 зш х + соз х=0.
тт    я
Из первого уравнения находим х = — + кп.
Второе уравнение — однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Решим его с помощью почленного деления обеих частей уравнения насозлс:
81пя; + Со8я;=0,
4З^х + 1=0;
-П    п
—Г= + пп,х = — + пп. л/3    6
1е л: = —Дг, откуда х = агс1§

Ответ: х = — + пп: х = -—+пп. 2 6
В заключение рассмотрим более сложный пример.
4 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»
97
Пример 11. Решить уравнение
3 81 п2 Зле - 2л/3 81Г1 Зх сое Зле + 5 сое2 Зле = 2 и выделить те его корни, которые принадлежат интервалу (-л, л).
Решение. Чем это уравнение сложнее предыдущих? Во-первых, оно не является однородным, так как в правой его части содержится не 0, а 2. Во-вторых, в левой части уравнения под знаками синуса и косинуса находится не х, а Зле. В-третьих, нужно не только решить уравнение в общем виде, но и выбрать корни, принадлежащие заданному промежутку. Эти три дополнительные трудности мы сейчас и начнем преодолевать.
С числом 2, содержащимся в правой части уравнения, мы поступим следующим образом. Известно, что зт21 + сое21 = 1 — это тождество верно для любого I. В частности, зт2 3* + сое2 Зле = 1. Но тогда 2 зт2 Зх + 2соз2 Зх =2. Заменив в правой части уравнения 2 на 2 81п2 Зле + 2со82 Зле, получим:
3 зт2 Зх - 273 зт Зх соа Зх + 5 соз2 Зх=2зт2Зх + 2 сов2 Зх.
Далее имеем:
3 зт2 Зх -2-Уз зт Зх соз Зх + 5сое2 3*'-2 зт2 Зх-2сов2 Зле = О, зт2 Зх-2^3 зт Зх соз Зле + Зсоз2 Зле =0.
Как видите, нам удалось преобразовать заданное уравнение в однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Оно содержит в своем составе член зт2 Зх, значит, применив способ почленного деления на соз2 Зле, получим:
1§2 3 лс - 2-У31§ Зле + 3=0.
Положив г Зх, получим квадратное уравнение:
г2 -2л/3г +3=0.
Для решения этого уравнения можно использовать формулу корней квадратного уравнения, но изящнее сделать так: заметив, что
г2 -273г+3=(г-73)2, преобразовать квадратное уравнение к виду:
(г-7з)2=0,
и далее г--Уз =0.
Значит, 2 = л/5, т.е.
1§ЗХ = ТЗ, Зх = ап*8 -Уз + пп,
о 71
Злс = — + пп, 3
л пп
лс = - +-.
9 3
Осталось из найденной серии решений выбрать те корни уравнения, которые принадлежат заданному интервалу (-л, л). Можно осуществить «перебор по параметру», т.е. последовательно придать параметру п значения 0,1, 2,..., -1, -2,..., как мы это делали в п. 1 (примеры 2 иЗ). Но мы хотим показать вам еще один прием (быть может, он покажется вам более интересным).
98
Нам нужно найти такие значения х, которые содержатся в интервале (-л, л), т.е. удовлетворяют двойному неравенству -%<х<к. Поскольку л лл
х =— + —, получаем неравенство:
П ПП -л< —+-< л.
9 3
Умножив все части этого неравенства на 9 и разделив на тс, получим:
-9<1 + Зл<9, -10<3я<8,
10 8
--<п <-.
3 3
Осталось выяснить, какие целочисленные значения параметра п удовлетворяют последнему неравенству. Это значения: -3, -2, -1, 0,1, 2. Значит, если перечисленные шесть значений подставить вместо п в форте тел
мулу решении х = — н--, то мы тем самым и выделим интересующие нас
9 3
корни уравнения, принадлежащие заданному интервалу (-тс, тс). Итак:
1)    если л = -3, то из формулы х=— + — получаем
9 3
п    8л
х =--л=--;
9    9
2)    если л = -2, то из формулы х = — + — получаем
9 3
л _ 2л __ 5 л
3)    если л = -1, то из формулы х + ^ получаем
_ л _ л _ 2 л
4)    если л = 0, то из формулы + ~ получаем
л „ л
х=- + 0=~; 9 9
С\    1    Я тел
5)    если л = I, то из формулы х=—л--получаем
9 3 _ л я_4тс. *"9 + 3~~9~'
6)    если л = 2, то из формулы х=— + — получаем
9 3
п 2тс 7тс
х=- +-=-.
9 3 9
^    8л 5 л 2 л п 4тс 7п
Ответ:--;--;--; —; —.
9 9 9 9 9 9
4 й
99

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс


Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.