KNOWLEDGE HYPERMARKET

Иррациональные числа
Строка 5: Строка 5:
<br>'''Иррациональные числа'''  
<br>'''Иррациональные числа'''  
-
<br>Мы уже неоднократно отмечали, что не все числа, с которыми приходится встречаться в реальной жизни, являются '''[[Презентація уроку: Множення раціональних чисел|рациональными]]'''. Так, не является рациональным числом длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 2 см: в самом деле, длина с гипотенузы этого треугольника и длины катетов связаны, по теореме Пифагора, соотношением с<sup>2</sup> = I<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup>. Значит, с = [[Image:14-06-113.jpg|Число]] см, а [[Image:14-06-113.jpg]] - не рациональное число. Корни уравнения х<sup>2</sup> = 7 также не являются рациональными числами — это числа [[Image:14-06-114.jpg|Число]] и -[[Image:14-06-114.jpg]] . Что же это за числа, которые не являются рациональными?
+
<h2>Определение иррационального числа</h2>
-
Прежде всего заметим, что в математике не принято говорить «нерациональное число», обычно используют термин '''[[Ірраціональні числа. Дійсні числа|иррациональное число]]'''. Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio — «разум» (буквальный перевод: «рациональное число — разумное число», «иррациональное число — неразумное число»; впрочем, так говорят и в реальной жизни: «он поступил рационально» — это значит, что он поступил разумно; «так действовать нерационально» — это значит, что так действовать неразумно).  
+
Иррациональными называют такие числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.  
-
Рассмотрим уже известное нам иррациональное число [[Image:14-06-113.jpg]]. В § 15 мы отмечали, что оно заключено между числами 2 и 3; если точнее, то между числами 2,2 и 2,3; если еще точнее, — то между числами 2,23 и 2,24. Можно продолжить уточнения оценок числа [[Image:14-06-113.jpg|Число]] и определить границы для третьего десятичного знака после запятой. Имеем 2,2362 = 4,999696, что меньше 5; 2,2372 = = 5,004167, что больше 5.
+
<br>
 +
[[Image:8kl_Iracional01.jpg|500x500px|иррациональные]]
 +
<br>
-
Итак, 2,236 &lt; [[Image:14-06-113.jpg]] &lt; 2,237.  
+
<br>
 +
[[Image:8kl_Iracional02.jpg|500x500px|иррациональные]]
 +
<br>
 +
 +
Так, например, числа, полученные путем извлечения квадратного корня из натуральных чисел, являются иррациональными и не являются квадратами натуральных чисел.
 +
Но не все иррациональные числа получают путем извлечения квадратных корней, ведь полученное методом деления, число «пи», также является иррациональным, и его вы вряд ли получите, пытаясь извлечь квадратный корень из натурального числа.  
-
Точно так же можно определить границы для четвертого знака после запятой, для пятого знака и т. д. Ясно, что выполняется приближенное равенство[[Image:14-06-113.jpg|Число]] [[Image:14-06-117.jpg]]&nbsp; 2,236. Если же считать, что для числа [[Image:14-06-113.jpg|Число]] выписаны все последующие десятичные знаки, то можно воспользоваться записью [[Image:14-06-113.jpg]] = 2,236... . Это — бесконечная '''[[Задачі до уроку «Порівняння десяткових дробів.»|десятичная дробь]]'''. В предыдущем параграфе мы уже встречались с бесконечными десятичными дробями, но все они были периодическими и выражали рациональные числа. Иррациональное число [[Image:14-06-113.jpg|Число]] выражается бесконечной десятичной непериодической дробью.
+
<h2>Свойства иррациональных чисел</h2>
-
Вообще, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.  
+
• В отличие от чисел, записанных бесконечной десятичной дробью, только иррациональные числа записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.<br>
 +
• Сумма двух неотрицательных иррациональных чисел в итоге может быть рациональным числом.<br>
 +
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.<br>
 +
• Любое вещественное  трансцендентное число является иррациональным.<br>
 +
• Все иррациональные числа являются либо алгебраическими, либо трансцендентными.<br>
 +
• Множество иррациональных чисел на прямой располагаются плотно, и между его любыми двумя числами обязательно найдется иррациональное число.<br>
 +
• Множество иррациональных чисел бесконечно, несчетно и является множеством 2-й категории.<br>
 +
• При выполнении любой арифметической операции с рациональными числами, кроме деления на 0, его результатом будет рациональное число.<br>
 +
• При сложении рационального числа с иррациональным, в результате всегда получается иррациональное число.<br>
 +
• При сложении иррациональных чисел в результате мы можем получить рациональное число.<br>
 +
• Множество иррациональных чисел не есть четным.<br>
-
Такие числа встречаются не только при извлечении квадратного корня, но и во многих других случаях, в чем вы не раз убедитесь в старших классах. <br>  
+
<h2>Числа, не являются иррациональными</h2>
-
Пока приведем только один пример. Если длину любой '''[[2. Числовая окружность|окружности]]''' разделить на ее диаметр, то в частном получится иррациональное число 3,141592... . Этот факт установил еще в III веке до н. э. греческий математик и философ Архимед. Для указанного числа в математике введено специальное обозначение&nbsp;% (буква греческого алфавита «пи»). <br>
+
Иногда достаточно сложно ответить на вопрос, является ли число иррациональным, особенно в случаях, когда число имеет вид десятичной дроби или в виде числового выражения, корня или логарифма.
-
Любая арифметическая операция над рациональными числами приводит в результате к рациональному числу. Это и понятно, ведь сумма (разность, произведение, частное) обыкновенных дробей есть '''[[Задачі до уроку «Додавання і віднімання звичайних дробів з однаковими знаменниками.»|обыкновенная дробь]]''' (все логично, ведь рациональные числа — «разумные» числа). А как обстоит дело с иррациональными числами? Оказывается, ничего определенного сказать нельзя (что тоже логично, ведь иррациональные числа — «неразумные» числа). Смотрите: [[Image:14-06-113.jpg]] — иррациональное число, [[Image:14-06-113.jpg]] '''.''' [[Image:14-06-113.jpg]] =5 — рациональное число, т. е. произведение двух иррациональных чисел оказалось рациональным числом;
+
Поэтому не лишним будет знать, какие числа не относятся к иррациональным. Если следовать определения иррациональных чисел, то нам уже известно, что рациональные числа не могут быть иррациональными.  
-
[[Image:14-06-115.jpg|Числа]] — иррациональные числа, и их произведение, т. е. [[Image:14-06-116.jpg|Число]] — тоже иррациональное число. То же относится к сложению, вычитанию, делению иррациональных чисел: в ответе может получиться как рациональное, так и иррациональное число. <br>
+
Иррациональными числами не являются:
-
А что получится, если в операции участвуют одно рациональное число и одно иррациональное число, какое «пересилит»?
+
• Во-первых, все натуральные числа;<br>
 +
• Во-вторых, целые числа;<br>
 +
• В-третьих, обыкновенные дроби;<br>
 +
• В-четвертых, разные смешанные числа;<br>
 +
• В-пятых, это бесконечные периодические десятичные дроби.<br>
-
Оказывается, «пересилит» иррациональное число. Рассмотрим такой пример: дано рациональное число 3 и иррациональное число [[Image:14-06-118.jpg|Число]]&nbsp;;составим их сумму 3 + [[Image:14-06-118.jpg]] • Предположим, что это — рациональное число r, т. е. 3 + [[Image:14-06-118.jpg|Число]] = г. Тогда [[Image:14-06-118.jpg]] = г - 3, а r - 3 — рациональное число (как разность двух рациональных чисел). Получается, что [[Image:14-06-118.jpg]] — рациональное число, а это неверно, ведь мы знаем, что это число — иррациональное.  
+
Кроме всего перечисленного, иррациональным числом не может быть любая комбинация рациональных чисел, которая выполняется знаками арифметических операций, как +, -, •, :, так как при этом итогом двух рациональных чисел будет также рациональное число.
-
Получили противоречие, значит, сделанное нами предположение неверно, т. е. 3 + [[Image:14-06-118.jpg]] — иррациональное число. Аналогично можно доказать, что 3-[[Image:14-06-118.jpg|Число]] — иррациональное число. <br>
+
А теперь посмотрим, какие же из чисел являются иррациональными:
-
'''Замечание.''' Обратите внимание, что в проведенном рассуждении мы снова использовали метод доказательства от противного, о котором в первый раз говорили выше, в § 15. <br>  
+
<br>
-
 
+
[[Image:8kl_Iracional03.jpg|500x500px|иррациональные]]
-
<br>
+
<br>
-
 
+
-
<u>'''Итак, можно сделать следующие выводы:'''</u>
+
-
 
+
-
• Любая арифметическая '''[[Урок 1. Операции|операция]]''' над рациональными числами (кроме деления на 0) приводит в результате к рациональному числу.
+
-
 
+
-
• Арифметическая операция над иррациональными числами может привести в результате как к рациональному, так и к иррациональному числу.
+
-
 
+
-
• Если в арифметической операции участвуют рациональное и иррациональное числа, то в результате получится иррациональное число (кроме умножения и деления на 0). <br>
+
-
 
+
-
Поскольку операция извлечения квадратного корня из положительного числа часто приводит к иррациональным числам, условились алгебраическое выражение, в котором присутствует операция извлечения квадратного корня, называть иррациональным выражением.
+
-
 
+
-
Кстати, и термин «освобождение от иррациональности в знаменателе», который мы использовали в § 18, объясняется теми же причинами. <br>''<br>Мордкович А. Г., [http://xvatit.com/vuzi/ '''Алгебра''']. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. ''<br>
+
-
 
+
-
<br>
+
-
 
+
-
<sub>Школьная библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], учебники и книги по всему предметам, Математика 8 класс [[Математика|скачать]]</sub>
+
-
 
+
-
<br>  
+
-
 
+
-
'''<u>Содержание урока</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии
+
   
   
-
'''<u>Практика</u>'''
+
<h2>Интересные факты</h2>
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
+
   
   
-
'''<u>Иллюстрации</u>'''
+
<br>
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
[[Image:8kl_Iracional04.jpg|500x500px|иррациональные]]
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки
+
<br>
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
-
+
-
'''<u>Дополнения</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                         
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие
+
-
'''<u></u>'''
+
-
<u>Совершенствование учебников и уроков
+
-
</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми
+
-
+
-
'''<u>Только для учителей</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
+
-
+
-
+
-
'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
+
-
</u>
+
-
<br>
+
А известно ли вам о существовании фан-клуба, где поклонники этого загадочного математического феномена ищут все новые сведения о Пи, пытаясь разгадать его тайну. Членом этого клуба может сталь любой человек, который знает наизусть определенное количество чисел Пи после запятой; 
 +
 
 +
А знаете ли вы, что в Германии под охраной ЮНЕСКО находится дворец Кастадель Монте, благодаря пропорциям которого можно вычислить Пи. Целый дворец посвятил этому числу король Фридрих II.
-
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].  
+
Оказывается, число Пи пытались использовать при строительстве Вавилонской башни. Но к превеликому сожалению, это привело к краху проекта, так как на тот момент было недостаточно изучено точное исчисление значения Пи.
-
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
+
Певица Кейт Буш в своем новом диске записала песню под названием «Пи», в которой прозвучало сто двадцать четыре числа из знаменитого числового ряда 3, 141…..

Версия 17:20, 1 июня 2015

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Иррациональные числа


Иррациональные числа

Содержание

Определение иррационального числа

Иррациональными называют такие числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.


иррациональные


иррациональные

Так, например, числа, полученные путем извлечения квадратного корня из натуральных чисел, являются иррациональными и не являются квадратами натуральных чисел. Но не все иррациональные числа получают путем извлечения квадратных корней, ведь полученное методом деления, число «пи», также является иррациональным, и его вы вряд ли получите, пытаясь извлечь квадратный корень из натурального числа.

Свойства иррациональных чисел

• В отличие от чисел, записанных бесконечной десятичной дробью, только иррациональные числа записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
• Сумма двух неотрицательных иррациональных чисел в итоге может быть рациональным числом.
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
• Любое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
• Все иррациональные числа являются либо алгебраическими, либо трансцендентными.
• Множество иррациональных чисел на прямой располагаются плотно, и между его любыми двумя числами обязательно найдется иррациональное число.
• Множество иррациональных чисел бесконечно, несчетно и является множеством 2-й категории.
• При выполнении любой арифметической операции с рациональными числами, кроме деления на 0, его результатом будет рациональное число.
• При сложении рационального числа с иррациональным, в результате всегда получается иррациональное число.
• При сложении иррациональных чисел в результате мы можем получить рациональное число.
• Множество иррациональных чисел не есть четным.

Числа, не являются иррациональными

Иногда достаточно сложно ответить на вопрос, является ли число иррациональным, особенно в случаях, когда число имеет вид десятичной дроби или в виде числового выражения, корня или логарифма.

Поэтому не лишним будет знать, какие числа не относятся к иррациональным. Если следовать определения иррациональных чисел, то нам уже известно, что рациональные числа не могут быть иррациональными.

Иррациональными числами не являются:

• Во-первых, все натуральные числа;
• Во-вторых, целые числа;
• В-третьих, обыкновенные дроби;
• В-четвертых, разные смешанные числа;
• В-пятых, это бесконечные периодические десятичные дроби.

Кроме всего перечисленного, иррациональным числом не может быть любая комбинация рациональных чисел, которая выполняется знаками арифметических операций, как +, -, •, :, так как при этом итогом двух рациональных чисел будет также рациональное число.

А теперь посмотрим, какие же из чисел являются иррациональными:


иррациональные

Интересные факты


иррациональные

А известно ли вам о существовании фан-клуба, где поклонники этого загадочного математического феномена ищут все новые сведения о Пи, пытаясь разгадать его тайну. Членом этого клуба может сталь любой человек, который знает наизусть определенное количество чисел Пи после запятой;

А знаете ли вы, что в Германии под охраной ЮНЕСКО находится дворец Кастадель Монте, благодаря пропорциям которого можно вычислить Пи. Целый дворец посвятил этому числу король Фридрих II.

Оказывается, число Пи пытались использовать при строительстве Вавилонской башни. Но к превеликому сожалению, это привело к краху проекта, так как на тот момент было недостаточно изучено точное исчисление значения Пи.

Певица Кейт Буш в своем новом диске записала песню под названием «Пи», в которой прозвучало сто двадцать четыре числа из знаменитого числового ряда 3, 141…..

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%98%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0»

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

©  Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний - Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: