KNOWLEDGE HYPERMARKET


Линейная функция и ее график
(Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...)
 
(7 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
-
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Линейная функция, ее график</metakeywords>  
+
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Линейная функция, ее график, уравнение, таблицы, натуральное число, координатная плоскость, математические модели, переменная</metakeywords>  
-
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика:Линейная функция и ее график'''  
+
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика: Линейная функция и ее график '''  
<br>  
<br>  
-
<br>'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК'''
+
<h2>Линейная функция и ее график</h2>
-
<br>Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 28, при всей его четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: <br>сначала ах1 + Ьу + с = О, затем ахг + Ьу + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала уравнение 3x - 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 28).
+
'''<br> '''Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 28, при всей его четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала ах1 + Ьу + с = О, затем ахг + Ьу + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала '''[[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку|уравнение]]''' 3x - 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 28).  
Имеем:  
Имеем:  
-
[[Image:09-06-20.jpg]]<br><br>Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при х = 0 получаем у = 3; при х = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем: у = 9.  
+
[[Image:09-06-20.jpg|180px|Уравнения]]<br><br>Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при х = 0 получаем у = 3; при х = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем: у = 9.  
Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 28.  
Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 28.  
-
Точно так же уравнение Ьх - 2у = 0 (см. пример 4 из § 28) можно было преобразовать к виду 2у =16 -3x . далее у = 2,5x; нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению. <br>Наконец, уравнение 3x + 2у - 16 = 0 из того же примера можно преобразовать к виду 2y = 16 -3x и далее [[Image:09-06-21.jpg]] нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), которые ему удовлетворяют.
+
Точно так же уравнение Ьх - 2у = 0 (см. пример 4 из § 28) можно было преобразовать к виду 2у =16 -3x . далее у = 2,5x; нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению. <br>  
-
Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде. <br>Имеем:  
+
Наконец, уравнение 3x + 2у - 16 = 0 из того же примера можно преобразовать к виду 2y = 16 -3x и далее [[Image:09-06-21.jpg|90px|Уравнение]] нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), которые ему удовлетворяют.
-
[[Image:09-06-22.jpg]]<br>
+
Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде. <br>  
-
Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными хиу всегда можно преобразовать к виду <br>y = kx + m,(2) <br>где k,m — числа (коэффициенты), причем [[Image:09-06-23.jpg]].  
+
Имеем:
 +
 
 +
[[Image:09-06-22.jpg|480px|Линейное уравнение]]<br>
 +
 
 +
Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными х и у всегда можно преобразовать к виду <br>y = kx + m,(2) где k,m — числа (коэффициенты), причем [[Image:09-06-23.jpg|40px|k не равно 0]].  
 +
 
 +
Этот частный вид линейного уравнения будем называть линейной функцией. <br>
-
Этот частный вид линейного уравнения будем называть линейной функцией. <br>С помощью равенства (2) легко, указав конкретное значение х, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например,  
+
С помощью равенства (2) легко, указав конкретное значение х, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например,  
у = 2х + 3. Тогда: <br>если х = 0, то у = 3; <br>если х = 1, то у = 5; <br>если х = -1, то у = 1; <br>если х = 3, то у = 9 и т. д.  
у = 2х + 3. Тогда: <br>если х = 0, то у = 3; <br>если х = 1, то у = 5; <br>если х = -1, то у = 1; <br>если х = 3, то у = 9 и т. д.  
-
Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы:  
+
Обычно эти результаты оформляют в виде '''[[Табличные информационные модели|таблицы]]''':  
-
[[Image:09-06-24.jpg]]<br><br>Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках х = 0, х = 1, х = -1,х=-3. <br>В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) — нет: конкретные значения мы придаем одной из них — переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что х — независимая переменная (или аргумент), у — зависимая переменная.
+
<br>  
-
<br>специальный вид линейного уравнения с двумя пе- <br>ременными. Графиком уравнения у — kx + т, как <br>всякого линейного уравнения с двумя переменны- <br>ми, является прямая — ее называют также графи- <br>ком линейной функции y = kx + тп. Таким образом, <br>справедлива следующая теорема. <br>Графиком линейной функции <br>у = kx + m является прямая. <br>Теорема 2. <br>Пример 1. Построить график линейной <br>функции у = 2х + 3. <br>Решение. Составим таблицу: <br>/ <br>У <br>к <br>3. <br>7 <br>/ <br>0 <br>| <br>]/ <br>/ <br>1 <br>/ <br>X <br>X <br>У <br>0 <br>3 <br>1 <br>5 <br>Рис. 36 <br>Построим на координатной плоскости хОу <br>точки @; 3) и A; 5) и проведем через них пря- <br>мую. Это и есть график линейной функции <br>у = 2х + 3 (рис. 36). &lt;¦ <br>Замечание. В § 25 мы уже говорили о том, как <br>обстоит дело в математике с новыми понятиями, но- <br>выми терминами. Часто бывает так: ввели новое поня- <br>тие, работают с ним, но затем, по мере дальнейшего <br>изучения математики, начинают осознавать, что вве- <br>денное понятие требует уточнения, развития. Именно <br>так обстояло дело с понятием «тождество». Точно <br>так же обстоит дело и с понятием «функция». Мы <br>еще довольно долго будем привыкать к нему, наби- <br>раться опыта, работать с этим понятием пока не при- <br>дем к строгому определению (зто будет в 9 классе). <br>Многие реальные ситуации описываются математическими <br>моделями, представляющими собой линейные функции. Приве- <br>Приведем примеры. <br>ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ <br>Первая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно <br>стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через <br>2, 4, 10 дней? <br>Если пройдет х дней, то количество у угля на складе (в тоннах) <br>выразится формулой у — 500 + ЗОд:. Таким образом, линейная фун- <br>кция у = ЗОд: + 500 есть математическая модель ситуации. <br>Теперь нетрудно установить, что: <br>при х = 2 имеем у = 560 (в уравнение у = ЗОд: + 500 подставили <br>х = 2 и получили у = 560); <br>при х = 4 имеем у = 620; <br>при х = 10 имеем у = 800. <br>Вторая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно <br>стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, <br>4,10 дней? <br>Здесь математической моделью ситуации является линейная <br>функция у = 500 - ЗОд:. С помощью этой модели нетрудно отве- <br>тить на вопрос задачи: <br>если х = 2, то у = 440 (в уравнение у = 500 - ЗОд: подставили <br>х — 2 и получили у = 440); <br>если х = 4, то у = 380; <br>если х = 10, то у = 200. <br>Третья ситуация. Турист проехал на автобусе 15 км от <br>пункта А до Б, а затем продолжил движение из пункта В в том <br>же направлении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком <br>расстоянии от А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 ч <br>ходьбы? <br>Математической моделью ситуации является линейная функ- <br>ция у=15 + 4х, где х — время ходьбы (в часах), у — расстояние от А <br>(в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи: <br>если х = 2, то у = 23 (в уравнение у = 15 + 4д: подставили х = 2 <br>и получили у = 23); <br>если д: = 4, то у = 31; <br>если х = 6, то у = 39. <br>На самом деле во всех математических моделях <br>этих трех ситуаций мы допустили неточности, по- <br>скольку ничего не сказали о тех ограничениях на <br>х, которые вытекают из смысла задачи. Ведь ясно, <br>что в первой ситуации независимая переменная х <br>114 <br>может принимать только значения 1, 2, 3, ..., поскольку х — <br>число дней. Следовательно, уточненная математическая модель <br>первой ситуации выглядит так: <br>у = 500 + ЗОд:, где х — натуральное число. <br>Во второй ситуации независимая переменная х, обозначаю- <br>щая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать толь- <br>ко значения 1, 2, 3, ..., 16. Действительно, если х = 16, то по <br>формуле у = 500 - ЗОд: находим: у = 500 - 30 • 16 = 20. Значит, <br>уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, посколь- <br>ку на складе к этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза <br>угля придется прекратить. Следовательно, уточненная математи- <br>ческая модель второй ситуации выглядит так: <br>у = 500 - ЗОд:, где х = 1, 2, 3, .... 16. <br>В третьей ситуации независимая переменная х теоретически мо- <br>жет принять любое неотрицательное значение (напр., значение х = 0, <br>значение х = 2, значение х = 3,5 и т. д.), но практически турист не <br>может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько <br>угодно времени. Значит, нам нужно было сделать разумные ограни- <br>чения на х, скажем, 0 &lt; х &lt; 6 (т. е. турист идет не более 6 ч). <br>Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного <br>неравег -тва 0 &lt; х &lt; 6 служит отрезок [0, 6] (рис. 37). Значит, уточ- <br>ненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х <br>принадлежит отрезку [0, 6]. <br>х <br>0 6 <br>Рис. 37 <br>Условимся вместо фразы *х принадлежит множеству X» <br>писать хт X (читают: «элемент х принадлежит множеству X», <br>е — знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с матема- <br>тическим языком постоянно продолжается. <br>Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не <br>при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого чис- <br>лового промежутка X, то пишут: <br>У <br>¦¦ kx + т, х е X. <br>Пример 2. Построить график линейной функции: <br>-2*+l, xe[-3,2]; <br>-2*+1, хе(-3,2). <br>Решение, а) Составим таблицу для линейной функции <br>X <br>У <br>-3 <br>7 <br>2 <br>-3 <br>Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и <br>B; -3) и проведем через них прямую линию. Это — график урав- <br>нения у = -2д: + 1. Далее, выделим отрезок, соединяющий постро- <br>енные точки (рис. 38). Этот отрезок и есть график линейной фун- <br>кции у = -2х+1, гдехе [-3, 2]. <br>Обычно говорят так: мы построили график линейной функ- <br>ции у = - 2х + 1 на отрезке [- 3, 2]. <br>б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная <br>функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же <br>прямая. Но — будьте внимательны! — на этот раз х е (-3, 2), т. е. <br>значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат <br>интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на коорди- <br>-302* <br>Рис. 39 <br>-{ <br>\ <br>\ <br>¦1 <br>\ <br>\ <br>\ <br>0 <br>о <br>1 <br>у <br>\ <br>1 : <br>\ <br>X <br>| <br>\ <br>ч <br>N <br>\ <br>0 <br>\ _ <br>V <br>1 <br>у <br>\ <br>L : <br>\ <br>1 <br>1 <br>\ <br>X <br>t <br>к <br>yt <br>\ <br>\ <br>0 <br>о <br>I <br>1 <br>\ <br>V <br>X <br>Рис. 38 <br>Рис. 40 <br>Рис. 41 <br>117 <br>натной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы го- <br>ворили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется <br>отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоми- <br>нать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1, <br>которые лежат между точками, отмеченными кружочками <br>(рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не свет- <br>лые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это не- <br>принципиально, главное, понимать, о чем <br>идет речь. &lt;И <br>Пример 3. Найти наибольшее и <br>наименьшее значения линейной функции <br>у = -г + 4 на отрезке [0, 6]. <br>Решение. Составим таблицу для ли- <br>нейной функции у—^ +4: <br>6 29 <br>4. <br>0 <br>1 <br>к* <br>1 <br>у <br>1 <br>V <br>1 <br>X <br>У <br>0 <br>4 <br>6 <br>7 <br>Рис. 42 <br>Построим на координатной плоскости хОу <br>точки @; 4) и F; 7) и проведем через них прямую — график линейной <br>х <br>функции у = -г + 4 (рис. 42). <br>Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию <br>не целиком, а на отрезке [0, 6], т. е. для х е [0, 6]. <br>Соответствующий отрезок графика выделен на чер- <br>теже. Замечаем, что самая большая ордината у то- <br>чек, принадлежащих выделенной части, равна 7 — <br>это и есть наибольшее значение линейной функции <br>у — -z + 4 на отрезке [0, 6]. Обычно используют <br>такую запись: унаиб =7. <br>Отмечаем, что самая маленькая ордината у то- <br>чек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 ча- <br>сти прямой, равна 4 — это и есть наименьшее значе- <br>х <br>ние линейной функции y=~z +4 на отрезке [0, 6]. <br>Обычно используют такую запись: г/наим. = 4. <br>Пример 4. Найти унаив- и уМт для линейной функции <br>у <br>а) на отрезке [1,5]; б) на интервале A,5); <br>в) на полуинтервале [1, 5); г) на луче [0, + со); <br>д) на луче (- со, 3]. <br>Решение. Составим таблицу для линейной функции <br>у = -l,5x + 3,5: <br>X <br>У <br>1 <br>2 <br>5 <br>-4 <br>Построим на координатной плоскости хОу точки A; 2) и E; - 4) <br>и проведем через них прямую (рис. 43-47). Выделим на построен- <br>ной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка [1,5] <br>(рис. 43), из интервала A, 5) (рис. 44), из полуинтервала [1, 5) <br>(рис. 45), из луча [0, + со) (рис. 46), из луча (- со, 3] (рис. 47). <br>а) С помощью рисунка 43 нетрудно сделать вывод, что унаиб = 2 <br>(этого значения линейная функция достигает при х = 1), а утим_ = - 4 <br>(этого значения линейная функция достигает при х = 5). <br>б) Используя рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшего, <br>ни наименьшего значений на заданном интервале у данной ли- <br>нейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от пре- <br>дыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и дости- <br>гались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения ис- <br>ключены. <br>yi <br>о <br>0 <br>-4 <br>Л <br>\ <br>S <br>1 <br>\ <br>\ <br>5 <br>h <br>\ <br>\ <br>,5 <br>*-» <br>X <br>3, <br>5 <br>У <br>о <br>0 <br>-Л <br>\ <br>\ <br>1 <br>ч <br>\ <br>\ <br>-1 <br>5 <br>ъ <br>\ <br>,5 <br>К <br>з, <br>X <br>5 <br>Рис. 43 <br>Рис. 44 <br>118 <br>в) С помощью рисунка 45 заключаем, что г/наи6. = 2 (как и в <br>первом случае), а наименьшего значения у линейной функции <br>нет (как и во втором случае). <br>г) Используя рисунок 46, делаем вывод: утиб = 3,5 (этого значе- <br>ния линейная функция достигает при х = 0), а унаим. не существует. <br>д) С помощью рисунка 47 делаем вывод: y^^ = -1 (этого значе- <br>ния линейная функция достигает при х = 3), а ушиб, не существует. <br>Пример 5. Построить график линейной функции <br>у = 2х - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы: <br>а) при каком значении х будет у = 0? <br>б) при каких значениях х будет у &gt; 0? <br>в) при каких значениях х будет у &lt; 0? <br>Ре ш е ни е. Составим таблицу для линейной функции у = 2х- 6: <br>X <br>У <br>0 <br>-6 <br>3 <br>0 <br>Через точки @; - 6) и C; 0) проведем прямую — график функ- <br>ции у = 2х - 6 (рис. 48). <br>а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и <br>есть точка с ординатой у = 0. <br>б) у &gt; 0 при х &gt; 3. В самом деле если х &gt; 3, то прямая располо- <br>жена выше оси ж, значит, ординаты соответствующих точек <br>прямой положительны. <br>расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек <br>прямой отрицательны. A <br>Обратите внимание, что в этом примере мы с <br>помощью графика решили: <br>а) уравнение 2х - 6 = 0 (получили х = 3); <br>б) неравенство 2х - 6 &gt; 0 (получили х &gt; 3); <br>в) неравенство 2я - 6 &lt; 0 (получили х &lt; 3). <br>Замечание. В русском языке часто один и тот же объект <br>называют по-разному, например: «дом», «здание», «со- <br>оружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», <br>«избушка». В математическом языке ситуация примерно <br>та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + т, <br>где к, т — конкретные числа, можно назвать линейной <br>функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя <br>переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), мож- <br>но назвать формулой, можно назвать соотношением, свя- <br>зывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью <br>между х и у. Это неважно, главное, понимать, что во всех <br>случаях речь идет о математической модели у = кх + т. <br>у, <br>о <br>0 <br>-4 <br>\ <br>\ <br>1 <br>\ <br>\ <br>&gt; <br>б <br>-] <br>*ч <br>,ь <br>рс <br>со <br>5 <br>\ <br>у <br>1? <br>1" <br>0 <br>\ <br>V <br>&gt; <br>1 <br>\ <br>\ <br>\ <br>¦*- <br>ч <br>? <br>X <br>s <br>&gt; <br>1 <br>У <br>\ <br>0 <br>\ <br>N <br>1 <br>\ <br>—ч <br>3 <br>1, <br>ix <br>X <br>у, <br>0 <br>-в <br>/ <br>f <br>1 <br>/ <br>1 <br>it <br>1 <br>1 <br>ч <br>•у <br>У <br>/ <br>^3 <br>»1 <br>/ <br>Рис. 45 <br>Рис. 46 <br>Рис. 47 <br>Рис. 48 <br>120 <br>6 <br>.30. <br>ЛИНЕЙНАЯ <br>ФУНКЦИЯ <br>1 <br>У1 <br>0 <br>t* <br>X <br>\ <br>\ <br>&lt; <br>•*&gt; <br>0 <br>У <br>\ <br>s <br>s <br>* <br>\ <br>X <br>4 <br>6.30. <br>ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ <br>Рис. 49, a <br>Рис. 49, б <br>возрастание <br>убывание <br>Рассмотрим график линейной функции, изоб- <br>раженный на рисунке 49, а. Если двигаться по это- <br>му графику слева направо, то ординаты точек гра- <br>фика все время увеличиваются, мы как бы «подни- <br>маемся в горку». В таких случаях математики <br>употребляют термин возрастание и говорят так: <br>если k&gt;0, то линейная функция у = kx + m возра- <br>стает. <br>Рассмотрим график линейной функции, изоб- <br>раженный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику <br>слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшают- <br>ся, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математи- <br>ки употребляют термин убывание и говорят так: если k &lt; О, то <br>линейная функция у = kx + m убывает. <br>§ 30. ПРЯМАЯ <br><br><br><br><br><br><br>
+
[[Image:09-06-24.jpg|180px|Таблица]]<br><br>Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках х = 0, х = 1, х = -1,х=-3. <br>
 +
В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) — нет: конкретные значения мы придаем одной из них — переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что х — независимая переменная (или аргумент), у — зависимая переменная.<br>
-
<br>
+
Обратите внимание: линейная функция - это специальный вид линейного уравнения с двумя переменными. '''[[Линейное уравнение с двумя переменными и его график|Графиком уравнения]]''' у — kx + т, как всякого линейного уравнения с двумя переменными, является прямая — ее называют также графком линейной функции y = kx + тп. Таким образом, справедлива следующая теорема. <br>  
-
<sub>Школьная библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], учебники и книги по всему предметам, Математика 7 класс [[Математика|скачать]]</sub>  
+
<br>  
<br>  
-
'''<u>Содержание урока</u>'''
+
[[Image:09-06-25.jpg|480px|Теорема 2.]]<br>  
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                      '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии
+
-
+
-
'''<u>Практика</u>'''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+
-
 
+
-
'''<u>Иллюстрации</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
-
+
-
'''<u>Дополнения</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                         
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
+
-
'''<u></u>'''
+
-
<u>Совершенствование учебников и уроков
+
-
</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми
+
-
 
+
-
'''<u>Только для учителей</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+
-
+
-
+
-
'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
+
-
</u>
+
<br>  
<br>  
-
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].  
+
'''Пример 1.''' Построить график линейной функции у = 2х + 3. <br>
 +
 
 +
Решение. Составим таблицу: <br>
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
[[Image:09-06-26.jpg|160px|График]]<br><br>Построим на '''[[Ілюстрації до теми Координатна площина|координатной плоскости]]''' хОу точки (0; 3) и (1; 5) и проведем через них прямую. Это и есть график линейной функции у = 2х + 3 (рис. 36).<br>
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
[[Image:09-06-27.jpg|180px|График линейной функции]]<br>
 +
 
 +
<br>'''''Замечание.''''' В § 25 мы уже говорили о том, как обстоит дело в математике с новыми понятиями, новыми терминами. Часто бывает так: ввели новое понятие, работают с ним, но затем, по мере дальнейшего изучения математики, начинают осознавать, что введенное понятие требует уточнения, развития. Именно так обстояло дело с понятием «тождество». Точно так же обстоит дело и с понятием «функция». Мы еще довольно долго будем привыкать к нему, набираться опыта, работать с этим понятием пока не придем к строгому определению (зто будет в 9 классе). <br>
 +
 
 +
<h2>Практические задания</h2>
 +
 
 +
Многие реальные ситуации описываются '''[[Что такое математическая модель|математическими моделями]]''', представляющими собой линейные функции.Приведем примеры. <br>
 +
 
 +
<u>Первая ситуация.</u> На складе было 500 т угля. Ежедневно стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней? <br>
 +
 
 +
Если пройдет х дней, то количество у угля на складе (в тоннах) выразится формулой у — 500 + ЗОд:. Таким образом, линейная функция у = З0x + 500 есть математическая модель ситуации. <br>
 +
 
 +
Теперь нетрудно установить, что: <br>
 +
 
 +
при х = 2 имеем у = 560 (в уравнение у = ЗОд: + 500 подставили <br>х = 2 и получили у = 560); <br>при х = 4 имеем у = 620; <br>при х = 10 имеем у = 800. <br>
 +
 
 +
<u>Вторая ситуация.</u> На складе было 500 т угля. Ежедневно стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4,10 дней? <br>
 +
 
 +
Здесь математической моделью ситуации является линейная функция у = 500 - З0x. С помощью этой модели нетрудно ответить на вопрос задачи: <br>
 +
 
 +
если х = 2, то у = 440 (в уравнение у = 500 - З0x подставили <br>х — 2 и получили у = 440); <br>если х = 4, то у = 380; <br>если х = 10, то у = 200. <br>
 +
 
 +
<u>Третья ситуация.</u> Турист проехал на автобусе 15 км от пункта А до Б, а затем продолжил движение из пункта В в том же направлении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 ч ходьбы? <br>
 +
 
 +
Математической моделью ситуации является линейная функция у=15 + 4х, где х — время ходьбы (в часах), у — расстояние от А (в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи: <br>
 +
 
 +
если х = 2, то у = 23 (в уравнение у = 15 + 4д: подставили х = 2 <br>и получили у = 23); <br>если д: = 4, то у = 31; <br>если х = 6, то у = 39. <br>
 +
 
 +
На самом деле во всех математических моделях этих трех ситуаций мы допустили неточности, поскольку ничего не сказали о тех ограничениях на х, которые вытекают из смысла задачи. Ведь ясно, что в первой ситуации независимая переменная х может принимать только значения 1, 2, 3, ..., поскольку х — число дней. <br>
 +
 
 +
Следовательно, уточненная математическая модель первой ситуации выглядит так:
 +
 
 +
у = 500 + З0x, где х — '''[[Додавання і віднімання натуральних чисел|натуральное число]]'''.
 +
 
 +
Во второй ситуации независимая переменная х, обозначающая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать только значения 1, 2, 3, ..., 16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 - З0x находим: у = 500 - 30 • 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза угля придется прекратить. Следовательно, уточненная математическая модель второй ситуации выглядит так:
 +
 
 +
у = 500 - ЗОд:, где х = 1, 2, 3, .... 16.
 +
 
 +
В третьей ситуации независимая '''[[Линейное уравнение с двумя переменными и его график|переменная]]''' х теоретически может принять любое неотрицательное значение (напр., значение х = 0, значение х = 2, значение х = 3,5 и т. д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно было сделать разумные ограничения на х, скажем, 0 &lt; х &lt; 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).
 +
 
 +
Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного неравенства 0 &lt; х &lt; 6 служит отрезок [0, 6] (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку [0, 6].
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
[[Image:09-06-28.jpg|240px|Отрезок]]<br><br>Условимся вместо фразы «х принадлежит множеству X» писать[[Image:09-06-29.jpg|40px|Элемент х принадлежит множеству X]] (читают: «элемент х принадлежит множеству X», е — знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с математическим языком постоянно продолжается.
 +
 
 +
Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого числового промежутка X, то пишут:
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
[[Image:09-06-30.jpg|180px|Линейная функция]]<br><br>Пример 2. Построить график линейной функции:
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
[[Image:09-06-31.jpg|360px|График линейной функции]]<br><br>Решение, а) Составим таблицу для линейной функции&nbsp; y = 2x + 1
 +
 
 +
[[Image:09-06-32.jpg|160px|Таблица]]<br><br>Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и (2; -3) и проведем через них прямую линию. Это — график уравнения у = -2x: + 1. Далее, выделим отрезок, соединяющий построенные точки (рис. 38). Этот отрезок и есть график линейной функции у = -2х+1, гдехе [-3, 2].
 +
 
 +
Обычно говорят так: мы построили график линейной функции у = - 2х + 1 на отрезке [- 3, 2].
 +
 
 +
б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же прямая. Но — будьте внимательны! — на этот раз х е (-3, 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы говорили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это непринципиально, главное, понимать, о чем идет речь.
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
[[Image:09-06-33.jpg|480px|Графики]]<br>
 +
 
 +
<br>'''Пример 3.''' Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции [[Image:09-06-34.jpg|60px|Линейная функция]] на отрезке [0, 6]. <br>Решение. Составим таблицу для линейной функции [[Image:09-06-34.jpg|60px|Линейная функция]]<br>
 +
 
 +
[[Image:09-06-35.jpg|160px|Таблица]]<br><br>Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведем через них прямую — график линейной х функции [[Image:09-06-34.jpg|60px|Линейная функция]] (рис. 42). <br>
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
[[Image:09-06-36.jpg|180px|График линейной функции]]
 +
 
 +
<br>Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке [0, 6], т. е. для х е [0, 6]. <br>
 +
 
 +
Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 — это и есть наибольшее значение линейной функции [[Image:09-06-34.jpg|60px|Линейная функция]] на отрезке [0, 6]. Обычно используют такую запись: у<sub>наиб</sub> =7.
 +
 
 +
Отмечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 части прямой, равна 4 — это и есть наименьшее значение линейной функции[[Image:09-06-34.jpg|60px|Линейная функция]] на отрезке [0, 6]. <br>Обычно используют такую запись: y<sub>наим.</sub> = 4.  
 +
 
 +
'''Пример 4.''' Найти у<sub>наиб</sub> и y<sub>наим.</sub> для линейной функции y =&nbsp; -1,5x + 3,5
 +
 
 +
а) на отрезке [1,5]; б) на интервале (1,5); <br>в) на полуинтервале [1, 5); г) на луче [0, + со); <br>д) на луче (- со, 3].
 +
 
 +
Решение. Составим таблицу для линейной функции у = -l,5x + 3,5:
 +
 
 +
[[Image:09-06-37.jpg|160px|Таблица]]<br><br>Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; - 4) и проведем через них прямую (рис. 43-47). Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка [1,5] (рис. 43), из интервала A, 5) (рис. 44), из полуинтервала [1, 5) (рис. 45), из луча [0, + со) (рис. 46),из луча(- со, 3] (рис. 47).
 +
 
 +
а) С помощью рисунка 43 нетрудно сделать вывод, что у<sub>наиб</sub> = 2 (этого значения линейная функция достигает при х = 1), а у<sub>наим.</sub> = - 4 (этого значения линейная функция достигает при х = 5).
 +
 
 +
б) Используя рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной линейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения исключены.
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
[[Image:09-06-38.jpg]]<br><br><br>в) С помощью рисунка 45 заключаем, что y<sub>наиб</sub>. = 2 (как и в первом случае), а наименьшего значения у линейной функции нет (как и во втором случае).
 +
 
 +
г) Используя рисунок 46, делаем вывод: у<sub>наиб</sub> = 3,5 (этого значения линейная функция достигает при х = 0), а у<sub>наим</sub>. не существует.
 +
 
 +
д) С помощью рисунка 47 делаем вывод: y<sub>наим</sub> = -1 (этого значения линейная функция достигает при х = 3), а у<sub>наиб</sub>., не существует.
 +
 
 +
Пример 5. Построить график линейной функции
 +
 
 +
у = 2х - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы:
 +
 
 +
''а) при каком значении х будет у = 0? <br>б) при каких значениях х будет у &gt; 0? <br>в) при каких значениях х будет у &lt; 0? ''
 +
 
 +
Ре ш е ни е. Составим таблицу для линейной функции у = 2х- 6:
 +
 
 +
[[Image:09-06-39.jpg|160px|Таблица]]<br><br>Через точки (0; - 6) и (3; 0) проведем прямую — график функции у = 2х - 6 (рис. 48).
 +
 
 +
а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и есть точка с ординатой у = 0. <br>б) у &gt; 0 при х &gt; 3. В самом деле если х &gt; 3, то прямая расположена выше оси ж, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны.
 +
 
 +
[[Image:09-06-40.jpg|480px|Линейные графики]]
 +
 
 +
в) у &lt; 0 при х &lt; 3. В самом деле если х &lt; 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A
 +
 
 +
Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика решили:
 +
 
 +
а) уравнение 2х - 6 = 0 (получили х = 3); <br>б) неравенство 2х - 6 &gt; 0 (получили х &gt; 3); <br>в) неравенство 2x - 6 &lt; 0 (получили х &lt; 3).
 +
 
 +
'''''Замечание.''''' В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например: «дом», «здание», «сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», «избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + m, где к, m — конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное, понимать, что во всех случаях речь идет о математической модели у = кх + m
 +
 
 +
[[Image:09-06-41.jpg|480px|Линейные графики]]
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
[[Image:09-06-42.jpg|480px|Линейные графики]].
 +
 
 +
<br>Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, а. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время увеличиваются, мы как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастание и говорят так: если k&gt;0, то линейная функция у = kx + m возрастает.
 +
 
 +
Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k &lt; О, то линейная функция у = kx + m убывает. <br>
 +
 
 +
<h2>Линейная функция в жизни</h2>
 +
 
 +
А теперь давайте подведем итог этой темы. Мы с вами уже познакомились с таким понятие, как линейная функция, знаем ее свойства и научились строить графики. Так же, вы рассматривали частные случаи линейной функции и узнали от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций. Но, оказывается, в нашей повседневной жизни мы также постоянно пересекаемся с этой математической моделью.
 +
 
 +
Давайте мы с вами подумаем, какие реальные жизненные ситуации связаны с таким понятием, как линейные функции? А также, между какими величинами или жизненными ситуациями, возможно, устанавливать линейную зависимость?
 +
 
 +
Многие из вас, наверное, не совсем представляют, зачем им нужно изучать линейные функции, ведь это вряд ли пригодится в дальнейшей жизни. Но здесь вы глубоко ошибаетесь, потому что с функциями мы сталкиваемся постоянно и повсюду. Так как, даже обычная ежемесячная квартплата также является функцией, которая зависит от многих переменных. А к этим переменным относится метраж площади, количество жильцов, тарифов, использование электроэнергии и т.д.
 +
 
 +
Конечно же, самыми распространенными примерами функций линейной зависимости, с которыми мы с вами сталкивались – это уроки математики.
 +
 
 +
Мы с вами решали задачи, где находили расстояния, которые проезжали машины, поезда или проходили пешеходы при определенной скорости движения. Это и есть линейные функции времени движения. Но ведь эти примеры применимы не только в математике, они присутствуют в нашей повседневной жизни.
 +
 
 +
Калорийности молочных продуктов зависит жирности, а такая зависимость, как правило, является линейной функцией. Так, например, при увеличении сметане процента жирности, увеличивается и калорийность продукта.
 +
 
 +
<br>
 +
[[Image:7kl_LinFunk01.jpg|700x700px|ЛФ]]
 +
<br>
 +
 
 +
Теперь давайте сделаем подсчеты и найдем значения k и b, решив систему уравнений:
 +
 
 +
<br>
 +
[[Image:7kl_LinFunk02.jpg|300x300px|ЛФ]]
 +
<br>
 +
 +
Теперь давайте выведем формулу зависимости:
 +
 
 +
y = 8,7x + 30
 +
 
 +
В итоге мы получили линейную зависимость.
 +
 
 +
Чтобы знать скорость распространения звука в зависимости от температуры, возможно, узнать, применив формулу: v = 331 +0,6t, где v - скорость (в м/с), t - температура. Если мы начертим график этой зависимости, то увидим, что он будет линейным, то есть представлять прямую линию.
 +
 
 +
И таких практических использований знаний в применении линейной функциональной зависимости можно перечислять долго. Начиная от платы за телефон, длины  и роста волос и даже пословиц в литературе. И этот список можно продолжать до бесконечности.
 +
 
 +
<br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика в школе [[Математика|скачать]]</sub>
 +
 
 +
<br>
-
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
+
''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений''

Текущая версия на 09:19, 17 августа 2015

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Линейная функция и ее график


Линейная функция и ее график


Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 28, при всей его четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала ах1 + Ьу + с = О, затем ахг + Ьу + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала уравнение 3x - 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 28).

Имеем:

Уравнения

Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при х = 0 получаем у = 3; при х = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем: у = 9.

Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 28.

Точно так же уравнение Ьх - 2у = 0 (см. пример 4 из § 28) можно было преобразовать к виду 2у =16 -3x . далее у = 2,5x; нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению.

Наконец, уравнение 3x + 2у - 16 = 0 из того же примера можно преобразовать к виду 2y = 16 -3x и далее Уравнение нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), которые ему удовлетворяют.

Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде.

Имеем:

Линейное уравнение

Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными х и у всегда можно преобразовать к виду
y = kx + m,(2) где k,m — числа (коэффициенты), причем k не равно 0.

Этот частный вид линейного уравнения будем называть линейной функцией.

С помощью равенства (2) легко, указав конкретное значение х, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например,

у = 2х + 3. Тогда:
если х = 0, то у = 3;
если х = 1, то у = 5;
если х = -1, то у = 1;
если х = 3, то у = 9 и т. д.

Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы:


Таблица

Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках х = 0, х = 1, х = -1,х=-3.

В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) — нет: конкретные значения мы придаем одной из них — переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что х — независимая переменная (или аргумент), у — зависимая переменная.

Обратите внимание: линейная функция - это специальный вид линейного уравнения с двумя переменными. Графиком уравнения у — kx + т, как всякого линейного уравнения с двумя переменными, является прямая — ее называют также графком линейной функции y = kx + тп. Таким образом, справедлива следующая теорема.


Теорема 2.


Пример 1. Построить график линейной функции у = 2х + 3.

Решение. Составим таблицу:


График

Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 3) и (1; 5) и проведем через них прямую. Это и есть график линейной функции у = 2х + 3 (рис. 36).


График линейной функции


Замечание. В § 25 мы уже говорили о том, как обстоит дело в математике с новыми понятиями, новыми терминами. Часто бывает так: ввели новое понятие, работают с ним, но затем, по мере дальнейшего изучения математики, начинают осознавать, что введенное понятие требует уточнения, развития. Именно так обстояло дело с понятием «тождество». Точно так же обстоит дело и с понятием «функция». Мы еще довольно долго будем привыкать к нему, набираться опыта, работать с этим понятием пока не придем к строгому определению (зто будет в 9 классе).

Практические задания

Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции.Приведем примеры.

Первая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней?

Если пройдет х дней, то количество у угля на складе (в тоннах) выразится формулой у — 500 + ЗОд:. Таким образом, линейная функция у = З0x + 500 есть математическая модель ситуации.

Теперь нетрудно установить, что:

при х = 2 имеем у = 560 (в уравнение у = ЗОд: + 500 подставили
х = 2 и получили у = 560);
при х = 4 имеем у = 620;
при х = 10 имеем у = 800.

Вторая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4,10 дней?

Здесь математической моделью ситуации является линейная функция у = 500 - З0x. С помощью этой модели нетрудно ответить на вопрос задачи:

если х = 2, то у = 440 (в уравнение у = 500 - З0x подставили
х — 2 и получили у = 440);
если х = 4, то у = 380;
если х = 10, то у = 200.

Третья ситуация. Турист проехал на автобусе 15 км от пункта А до Б, а затем продолжил движение из пункта В в том же направлении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 ч ходьбы?

Математической моделью ситуации является линейная функция у=15 + 4х, где х — время ходьбы (в часах), у — расстояние от А (в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи:

если х = 2, то у = 23 (в уравнение у = 15 + 4д: подставили х = 2
и получили у = 23);
если д: = 4, то у = 31;
если х = 6, то у = 39.

На самом деле во всех математических моделях этих трех ситуаций мы допустили неточности, поскольку ничего не сказали о тех ограничениях на х, которые вытекают из смысла задачи. Ведь ясно, что в первой ситуации независимая переменная х может принимать только значения 1, 2, 3, ..., поскольку х — число дней.

Следовательно, уточненная математическая модель первой ситуации выглядит так:

у = 500 + З0x, где х — натуральное число.

Во второй ситуации независимая переменная х, обозначающая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать только значения 1, 2, 3, ..., 16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 - З0x находим: у = 500 - 30 • 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза угля придется прекратить. Следовательно, уточненная математическая модель второй ситуации выглядит так:

у = 500 - ЗОд:, где х = 1, 2, 3, .... 16.

В третьей ситуации независимая переменная х теоретически может принять любое неотрицательное значение (напр., значение х = 0, значение х = 2, значение х = 3,5 и т. д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно было сделать разумные ограничения на х, скажем, 0 < х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного неравенства 0 < х < 6 служит отрезок [0, 6] (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку [0, 6].


Отрезок

Условимся вместо фразы «х принадлежит множеству X» писатьЭлемент х принадлежит множеству X (читают: «элемент х принадлежит множеству X», е — знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с математическим языком постоянно продолжается.

Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого числового промежутка X, то пишут:


Линейная функция

Пример 2. Построить график линейной функции:


График линейной функции

Решение, а) Составим таблицу для линейной функции  y = 2x + 1

Таблица

Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и (2; -3) и проведем через них прямую линию. Это — график уравнения у = -2x: + 1. Далее, выделим отрезок, соединяющий построенные точки (рис. 38). Этот отрезок и есть график линейной функции у = -2х+1, гдехе [-3, 2].

Обычно говорят так: мы построили график линейной функции у = - 2х + 1 на отрезке [- 3, 2].

б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же прямая. Но — будьте внимательны! — на этот раз х е (-3, 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы говорили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это непринципиально, главное, понимать, о чем идет речь.


Графики


Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции Линейная функция на отрезке [0, 6].
Решение. Составим таблицу для линейной функции Линейная функция

Таблица

Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведем через них прямую — график линейной х функции Линейная функция (рис. 42).


График линейной функции


Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке [0, 6], т. е. для х е [0, 6].

Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 — это и есть наибольшее значение линейной функции Линейная функция на отрезке [0, 6]. Обычно используют такую запись: унаиб =7.

Отмечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 части прямой, равна 4 — это и есть наименьшее значение линейной функцииЛинейная функция на отрезке [0, 6].
Обычно используют такую запись: yнаим. = 4.

Пример 4. Найти унаиб и yнаим. для линейной функции y =  -1,5x + 3,5

а) на отрезке [1,5]; б) на интервале (1,5);
в) на полуинтервале [1, 5); г) на луче [0, + со);
д) на луче (- со, 3].

Решение. Составим таблицу для линейной функции у = -l,5x + 3,5:

Таблица

Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; - 4) и проведем через них прямую (рис. 43-47). Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка [1,5] (рис. 43), из интервала A, 5) (рис. 44), из полуинтервала [1, 5) (рис. 45), из луча [0, + со) (рис. 46),из луча(- со, 3] (рис. 47).

а) С помощью рисунка 43 нетрудно сделать вывод, что унаиб = 2 (этого значения линейная функция достигает при х = 1), а унаим. = - 4 (этого значения линейная функция достигает при х = 5).

б) Используя рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной линейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения исключены.


09-06-38.jpg


в) С помощью рисунка 45 заключаем, что yнаиб. = 2 (как и в первом случае), а наименьшего значения у линейной функции нет (как и во втором случае).

г) Используя рисунок 46, делаем вывод: унаиб = 3,5 (этого значения линейная функция достигает при х = 0), а унаим. не существует.

д) С помощью рисунка 47 делаем вывод: yнаим = -1 (этого значения линейная функция достигает при х = 3), а унаиб., не существует.

Пример 5. Построить график линейной функции

у = 2х - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы:

а) при каком значении х будет у = 0?
б) при каких значениях х будет у > 0?
в) при каких значениях х будет у < 0?

Ре ш е ни е. Составим таблицу для линейной функции у = 2х- 6:

Таблица

Через точки (0; - 6) и (3; 0) проведем прямую — график функции у = 2х - 6 (рис. 48).

а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и есть точка с ординатой у = 0.
б) у > 0 при х > 3. В самом деле если х > 3, то прямая расположена выше оси ж, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны.

Линейные графики

в) у < 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика решили:

а) уравнение 2х - 6 = 0 (получили х = 3);
б) неравенство 2х - 6 > 0 (получили х > 3);
в) неравенство 2x - 6 < 0 (получили х < 3).

Замечание. В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например: «дом», «здание», «сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», «избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + m, где к, m — конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное, понимать, что во всех случаях речь идет о математической модели у = кх + m

Линейные графики


Линейные графики.


Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, а. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время увеличиваются, мы как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастание и говорят так: если k>0, то линейная функция у = kx + m возрастает.

Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k < О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Линейная функция в жизни

А теперь давайте подведем итог этой темы. Мы с вами уже познакомились с таким понятие, как линейная функция, знаем ее свойства и научились строить графики. Так же, вы рассматривали частные случаи линейной функции и узнали от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций. Но, оказывается, в нашей повседневной жизни мы также постоянно пересекаемся с этой математической моделью.

Давайте мы с вами подумаем, какие реальные жизненные ситуации связаны с таким понятием, как линейные функции? А также, между какими величинами или жизненными ситуациями, возможно, устанавливать линейную зависимость?

Многие из вас, наверное, не совсем представляют, зачем им нужно изучать линейные функции, ведь это вряд ли пригодится в дальнейшей жизни. Но здесь вы глубоко ошибаетесь, потому что с функциями мы сталкиваемся постоянно и повсюду. Так как, даже обычная ежемесячная квартплата также является функцией, которая зависит от многих переменных. А к этим переменным относится метраж площади, количество жильцов, тарифов, использование электроэнергии и т.д.

Конечно же, самыми распространенными примерами функций линейной зависимости, с которыми мы с вами сталкивались – это уроки математики.

Мы с вами решали задачи, где находили расстояния, которые проезжали машины, поезда или проходили пешеходы при определенной скорости движения. Это и есть линейные функции времени движения. Но ведь эти примеры применимы не только в математике, они присутствуют в нашей повседневной жизни.

Калорийности молочных продуктов зависит жирности, а такая зависимость, как правило, является линейной функцией. Так, например, при увеличении сметане процента жирности, увеличивается и калорийность продукта.


ЛФ

Теперь давайте сделаем подсчеты и найдем значения k и b, решив систему уравнений:


ЛФ

Теперь давайте выведем формулу зависимости:

y = 8,7x + 30

В итоге мы получили линейную зависимость.

Чтобы знать скорость распространения звука в зависимости от температуры, возможно, узнать, применив формулу: v = 331 +0,6t, где v - скорость (в м/с), t - температура. Если мы начертим график этой зависимости, то увидим, что он будет линейным, то есть представлять прямую линию.

И таких практических использований знаний в применении линейной функциональной зависимости можно перечислять долго. Начиная от платы за телефон, длины и роста волос и даже пословиц в литературе. И этот список можно продолжать до бесконечности.


Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений