Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Линейная функция и ее график

                                                         ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК

Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 28, при всей его четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у:
сначала ах1 + Ьу + с = О, затем ахг + Ьу + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала уравнение 3x - 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 28).

Имеем:

Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при х = 0 получаем у = 3; при х = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем: у = 9.

Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 28.

Точно так же уравнение Ьх - 2у = 0 (см. пример 4 из § 28) можно было преобразовать к виду 2у =16 -3x . далее у = 2,5x; нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению.
Наконец, уравнение 3x + 2у - 16 = 0 из того же примера можно преобразовать к виду 2y = 16 -3x и далее нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), которые ему удовлетворяют.

Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде.
Имеем:

Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными хиу всегда можно преобразовать к виду
y = kx + m,(2)
где k,m — числа (коэффициенты), причем .

Этот частный вид линейного уравнения будем называть линейной функцией.
С помощью равенства (2) легко, указав конкретное значение х, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например,

у = 2х + 3. Тогда:
если х = 0, то у = 3;
если х = 1, то у = 5;
если х = -1, то у = 1;
если х = 3, то у = 9 и т. д.

Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы:

Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках х = 0, х = 1, х = -1,х=-3.
В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) — нет: конкретные значения мы придаем одной из них — переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что х — независимая переменная (или аргумент), у — зависимая переменная.

специальный вид линейного уравнения с двумя пе-
ременными. Графиком уравнения у — kx + т, как
всякого линейного уравнения с двумя переменны-
ми, является прямая — ее называют также графи-
ком линейной функции y = kx + тп. Таким образом,
справедлива следующая теорема.
Графиком линейной функции
у = kx + m является прямая.
Теорема 2.
Пример 1. Построить график линейной
функции у = 2х + 3.
Решение. Составим таблицу:
/
У
к
3.
7
/
0
|
]/
/
1
/
X
X
У
0
3
1
5
Рис. 36
Построим на координатной плоскости хОу
точки @; 3) и A; 5) и проведем через них пря-
мую. Это и есть график линейной функции
у = 2х + 3 (рис. 36). <¦
Замечание. В § 25 мы уже говорили о том, как
обстоит дело в математике с новыми понятиями, но-
выми терминами. Часто бывает так: ввели новое поня-
тие, работают с ним, но затем, по мере дальнейшего
изучения математики, начинают осознавать, что вве-
денное понятие требует уточнения, развития. Именно
так обстояло дело с понятием «тождество». Точно
так же обстоит дело и с понятием «функция». Мы
еще довольно долго будем привыкать к нему, наби-
раться опыта, работать с этим понятием пока не при-
дем к строгому определению (зто будет в 9 классе).
Многие реальные ситуации описываются математическими
моделями, представляющими собой линейные функции. Приве-
Приведем примеры.
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
Первая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно
стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через
2, 4, 10 дней?
Если пройдет х дней, то количество у угля на складе (в тоннах)
выразится формулой у — 500 + ЗОд:. Таким образом, линейная фун-
кция у = ЗОд: + 500 есть математическая модель ситуации.
Теперь нетрудно установить, что:
при х = 2 имеем у = 560 (в уравнение у = ЗОд: + 500 подставили
х = 2 и получили у = 560);
при х = 4 имеем у = 620;
при х = 10 имеем у = 800.
Вторая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно
стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2,
4,10 дней?
Здесь математической моделью ситуации является линейная
функция у = 500 - ЗОд:. С помощью этой модели нетрудно отве-
тить на вопрос задачи:
если х = 2, то у = 440 (в уравнение у = 500 - ЗОд: подставили
х — 2 и получили у = 440);
если х = 4, то у = 380;
если х = 10, то у = 200.
Третья ситуация. Турист проехал на автобусе 15 км от
пункта А до Б, а затем продолжил движение из пункта В в том
же направлении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком
расстоянии от А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 ч
ходьбы?
Математической моделью ситуации является линейная функ-
ция у=15 + 4х, где х — время ходьбы (в часах), у — расстояние от А
(в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи:
если х = 2, то у = 23 (в уравнение у = 15 + 4д: подставили х = 2
и получили у = 23);
если д: = 4, то у = 31;
если х = 6, то у = 39.
На самом деле во всех математических моделях
этих трех ситуаций мы допустили неточности, по-
скольку ничего не сказали о тех ограничениях на
х, которые вытекают из смысла задачи. Ведь ясно,
что в первой ситуации независимая переменная х
114
может принимать только значения 1, 2, 3, ..., поскольку х —
число дней. Следовательно, уточненная математическая модель
первой ситуации выглядит так:
у = 500 + ЗОд:, где х — натуральное число.
Во второй ситуации независимая переменная х, обозначаю-
щая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать толь-
ко значения 1, 2, 3, ..., 16. Действительно, если х = 16, то по
формуле у = 500 - ЗОд: находим: у = 500 - 30 • 16 = 20. Значит,
уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, посколь-
ку на складе к этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза
угля придется прекратить. Следовательно, уточненная математи-
ческая модель второй ситуации выглядит так:
у = 500 - ЗОд:, где х = 1, 2, 3, .... 16.
В третьей ситуации независимая переменная х теоретически мо-
жет принять любое неотрицательное значение (напр., значение х = 0,
значение х = 2, значение х = 3,5 и т. д.), но практически турист не
может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько
угодно времени. Значит, нам нужно было сделать разумные ограни-
чения на х, скажем, 0 < х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).
Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного
неравег -тва 0 < х < 6 служит отрезок [0, 6] (рис. 37). Значит, уточ-
ненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х
принадлежит отрезку [0, 6].
х
0 6
Рис. 37
Условимся вместо фразы *х принадлежит множеству X»
писать хт X (читают: «элемент х принадлежит множеству X»,
е — знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с матема-
тическим языком постоянно продолжается.
Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не
при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого чис-
лового промежутка X, то пишут:
У
¦¦ kx + т, х е X.
Пример 2. Построить график линейной функции:
-2*+l, xe[-3,2];
-2*+1, хе(-3,2).
Решение, а) Составим таблицу для линейной функции
X
У
-3
7
2
-3
Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и
B; -3) и проведем через них прямую линию. Это — график урав-
нения у = -2д: + 1. Далее, выделим отрезок, соединяющий постро-
енные точки (рис. 38). Этот отрезок и есть график линейной фун-
кции у = -2х+1, гдехе [-3, 2].
Обычно говорят так: мы построили график линейной функ-
ции у = - 2х + 1 на отрезке [- 3, 2].
б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная
функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же
прямая. Но — будьте внимательны! — на этот раз х е (-3, 2), т. е.
значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат
интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на коорди-
-302*
Рис. 39
-{
\
\
¦1
\
\
\
0
о
1
у
\
1 :
\
X
|
\
ч
N
\
0
\ _
V
1
у
\
L :
\
1
1
\
X
t
к
yt
\
\
0
о
I
1
\
V
X
Рис. 38
Рис. 40
Рис. 41
117
натной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы го-
ворили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется
отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоми-
нать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1,
которые лежат между точками, отмеченными кружочками
(рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не свет-
лые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это не-
принципиально, главное, понимать, о чем
идет речь. <И
Пример 3. Найти наибольшее и
наименьшее значения линейной функции
у = -г + 4 на отрезке [0, 6].
Решение. Составим таблицу для ли-
нейной функции у—^ +4:
6 29
4.
0
1
к*
1
у
1
V
1
X
У
0
4
6
7
Рис. 42
Построим на координатной плоскости хОу
точки @; 4) и F; 7) и проведем через них прямую — график линейной
х
функции у = -г + 4 (рис. 42).
Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию
не целиком, а на отрезке [0, 6], т. е. для х е [0, 6].
Соответствующий отрезок графика выделен на чер-
теже. Замечаем, что самая большая ордината у то-
чек, принадлежащих выделенной части, равна 7 —
это и есть наибольшее значение линейной функции
у — -z + 4 на отрезке [0, 6]. Обычно используют
такую запись: унаиб =7.
Отмечаем, что самая маленькая ордината у то-
чек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 ча-
сти прямой, равна 4 — это и есть наименьшее значе-
х
ние линейной функции y=~z +4 на отрезке [0, 6].
Обычно используют такую запись: г/наим. = 4.
Пример 4. Найти унаив- и уМт для линейной функции
у
а) на отрезке [1,5]; б) на интервале A,5);
в) на полуинтервале [1, 5); г) на луче [0, + со);
д) на луче (- со, 3].
Решение. Составим таблицу для линейной функции
у = -l,5x + 3,5:
X
У
1
2
5
-4
Построим на координатной плоскости хОу точки A; 2) и E; - 4)
и проведем через них прямую (рис. 43-47). Выделим на построен-
ной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка [1,5]
(рис. 43), из интервала A, 5) (рис. 44), из полуинтервала [1, 5)
(рис. 45), из луча [0, + со) (рис. 46), из луча (- со, 3] (рис. 47).
а) С помощью рисунка 43 нетрудно сделать вывод, что унаиб = 2
(этого значения линейная функция достигает при х = 1), а утим_ = - 4
(этого значения линейная функция достигает при х = 5).
б) Используя рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшего,
ни наименьшего значений на заданном интервале у данной ли-
нейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от пре-
дыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и дости-
гались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения ис-
ключены.
yi
о
0
-4
Л
\
S
1
\
\
5
h
\
\
,5
*-»
X
3,
5
У
о
0
-Л
\
\
1
ч
\
\
-1
5
ъ
\
,5
К
з,
X
5
Рис. 43
Рис. 44
118
в) С помощью рисунка 45 заключаем, что г/наи6. = 2 (как и в
первом случае), а наименьшего значения у линейной функции
нет (как и во втором случае).
г) Используя рисунок 46, делаем вывод: утиб = 3,5 (этого значе-
ния линейная функция достигает при х = 0), а унаим. не существует.
д) С помощью рисунка 47 делаем вывод: y^^ = -1 (этого значе-
ния линейная функция достигает при х = 3), а ушиб, не существует.
Пример 5. Построить график линейной функции
у = 2х - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы:
а) при каком значении х будет у = 0?
б) при каких значениях х будет у > 0?
в) при каких значениях х будет у < 0?
Ре ш е ни е. Составим таблицу для линейной функции у = 2х- 6:
X
У
0
-6
3
0
Через точки @; - 6) и C; 0) проведем прямую — график функ-
ции у = 2х - 6 (рис. 48).
а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и
есть точка с ординатой у = 0.
б) у > 0 при х > 3. В самом деле если х > 3, то прямая располо-
жена выше оси ж, значит, ординаты соответствующих точек
прямой положительны.
расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек
прямой отрицательны. A
Обратите внимание, что в этом примере мы с
помощью графика решили:
а) уравнение 2х - 6 = 0 (получили х = 3);
б) неравенство 2х - 6 > 0 (получили х > 3);
в) неравенство 2я - 6 < 0 (получили х < 3).
Замечание. В русском языке часто один и тот же объект
называют по-разному, например: «дом», «здание», «со-
оружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара»,
«избушка». В математическом языке ситуация примерно
та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + т,
где к, т — конкретные числа, можно назвать линейной
функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя
переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), мож-
но назвать формулой, можно назвать соотношением, свя-
зывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью
между х и у. Это неважно, главное, понимать, что во всех
случаях речь идет о математической модели у = кх + т.
у,
о
0
-4
\
\
1
\
\
>
б
-]
*ч
,ь
рс
со
5
\
у
1?
1"
0
\
V
>
1
\
\
\
¦*-
ч
?
X
s
>
1
У
\
0
\
N
1
\
—ч
3
1,
ix
X
у,
0
-в
/
f
1
/
1
it
1
1
ч
•у
У
/
^3
»1
/
Рис. 45
Рис. 46
Рис. 47
Рис. 48
120
6
.30.
ЛИНЕЙНАЯ
ФУНКЦИЯ
1
У1
0
t*
X
\
\
<
•*>
0
У
\
s
s
*
\
X
4
6.30.
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
Рис. 49, a
Рис. 49, б
возрастание
убывание
Рассмотрим график линейной функции, изоб-
раженный на рисунке 49, а. Если двигаться по это-
му графику слева направо, то ординаты точек гра-
фика все время увеличиваются, мы как бы «подни-
маемся в горку». В таких случаях математики
употребляют термин возрастание и говорят так:
если k>0, то линейная функция у = kx + m возра-
стает.
Рассмотрим график линейной функции, изоб-
раженный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику
слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшают-
ся, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математи-
ки употребляют термин убывание и говорят так: если k < О, то
линейная функция у = kx + m убывает.
§ 30. ПРЯМАЯ

_{Школьная библиотека онлайн, учебники и книги по всему предметам, Математика 7 класс скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.