KNOWLEDGE HYPERMARKET


Логарифмические неравенства

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Логарифмические неравенства


§ 52. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида

A10219.jpg
где а — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Для решения неравенства (1) проведем следующие рассуждения: преобразуем неравенство к виду

A10220.jpg

Теперь следует рассмотреть два случая: а>1 и 0<а<1. Если а > 1, то неравенство loga t >0 имеет место тогда и только тогда, когда (см. § 49, рис. 216). Значит,

A10221.jpg

Если 0 < а < 1, то неравенство loga t > 1 имеет место тогда и только тогда, когда 0 <t<1 (см. § 49, рис. 217). Значит,

A10222.jpg

Проведенные рассуждения позволяют сформулировать следующее утверждение.

A10223.jpg
На практике эту теорему применяют так: переходят от неравенства A10224.jpg к равносильной ему системе неравенств:

A10225.jpg
Первые два неравенства каждой из этих систем определяют область допустимых значений переменной для неравенства (1), а знак последнего неравенства каждой из систем (обратите внимание!) либо совпадает со знаком неравенства (1) — в случае, когда а> 1, — либо противоположен знаку неравенства (1) — в случае, когда0 <а <1.
Пример 1. Решить неравенства:

A10226.jpg
Решение. а) Область допустимых значений переменной для заданного неравенства определяется условиями: 2х-4>0 и 14-х>0. Поскольку основанием логарифмов служит число 3, а оно больше 1, то, «освобождаясь» от знаков логарифмов, мы получим неравенство того же смысла:  2х-4>14-х.
В итоге получаем систему неравенств:

A10227.jpg
Из первого неравенства системы находим х >2, из второго — х <14, из третьего — х >6. Геометрическая модель (рис. 226) помогает найти решение системы неравенств: 6 < х < 14.
б) Здесь основание логарифма A10228.jpg , т.е. число меньше 1. Значит, соответствующая система неравенств имеет вид:

A10229.jpg
(обратите внимание: знак последнего неравенства системы противоположен знаку исходного логарифмического неравенства).
Из первого неравенства системы находим х > 2, из второго — х <14, из третьего — х <6. Геометрическая модель (рис. 227) помогает найти решение системы неравенств: 2 < х < 6.
Ответ: а) 6<х<14; 6) 2 <х <6.
Замечание. Еще раз рассмотрим систему неравенств, которая получилась в примере 1а. Третье неравенство системы имеет вид 2х -4>14-х, а второе —14 - х > 0. Но из этих двух неравенств автоматически (по свойству транзитивности неравенств) следует, что 2х - 4 > 0. Что это значит? Это значит, что первое неравенство системы с самого начала можно было отбросить без всякого ущерба для решения системы.
Рассуждая аналогично, в системе неравенств, которую мы получили в примере 16, можно было с самого начала отбросить второе неравенство.
Получив систему неравенств, математики обычно смотрят, нет ли в ней неравенства, которое логически следует из других. Если такое неравенство есть, его можно отбросить. Советуем и вам так поступать, но, разумеется, только в том случае, если вы уверены в правильности своих выводов.
Пример 2. Решить неравенство: A10230.jpg
Решение. Представим -4 в виде логарифма по основанию A10231.jpg  Это позволит переписать заданное неравенство в виде: A10232.jpg
Учитывая, что здесь основанием логарифмов служит число, меньше 1, составляем равносильную заданному неравенству систему неравенств:
A10232.jpg
Обратите внимание: если выполняется второе неравенство системы, то автоматически выполняется и первое неравенство (если А > 16, то тем более А >0). Значит, первое неравенство системы можно отбросить. Решая второе неравенство, находим:

A10233.jpg

Пример 3. Решить неравенство lg х + lg(45-х)<2 +lg2.
Решение. Имеем последовательно:
A10234.jpg
Значит, заданное неравенство можно преобразовать к виду lg(45х - х2) < 200.
«Освобождаясь» от знаков десятичных логарифмов, получим неравенство того же смысла: 45х - х2 < 200. А условия, задающие область допустимых значений переменной, всегда определяют по исходному неравенству; в данном примере они таковы: х>0 и 45-х>0. В итоге получаем систему неравенств:


                            1                                   
        +                    _                                   
                        /            4    > (                       
                    0    1            /    4                        X
                                                               
Рис. 228
281
х>0, 45-х>0, 45л:-л:2 <200.
Первые два неравенства можно записать в виде двойного неравенства 0 < х < 45. Решая третье неравенство системы, находим:
х2 -45х + 200>0; (х-40Хх~5)>0; ас<5; х>40 (рис.229).
Отметив на числовой прямой эти решения совместно с полученным ранее интервалом 0 < х <45, находим их пересечение (рис. 230), т.е. решение составленной выше системы неравенств: 0 < х < 5; 40 < х < 45.
Ответ:0<х<5; 40<х<45.
    1 1                        1                        1           
    +                                                +    л       
                                                        Л       
            ч                                У    г 41    г»            X
                                                               
    I                                                       
                                                           
                                                           
    о    с        4        4                    -0-    И    5        X
    1                                                       
Рис. 229    Рис. 230
Пример 4. Решить неравенство 1о§2 х2 -51о§2 х +1 <0. Решение. Здесь «напрашивается» введение новой переменной V = х, но сначала надо разобраться с выражением \о§22 х2.
Имеем: 1о§2 х2 =(1о§2 х2)? =(21ое2 х)? =41о§2 х. Итак, если у = х, то
х2 =4(/. Поняв это, перепишем заданное неравенство в виде
4^-бу+КО.
Найдем корни квадратного трехчлена 4у2 - 5у +1: у, = 1, у2 = —. Значит,
4
4 у2 -5у + 1=4(у-1) у — 1а потому последнее неравенство можно перепи-
I V
сать в виде 4(у -1) I у - — < 0.
Находим решение неравенства: -< у <1.
4
Подставив вместо у выражение 1о^2 х, получим: — < 1о§2 х <1 или, что то
4
же самое, 24 <1о^2 х <1ое2 2. Остается «освободиться» от знаков лога-рифмов, сохранив имеющиеся знаки неравенств: 24 < х <2. Ответ: 24 <х<2.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс


Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.