Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика:Признак параллельности прямых(10 класс)

Признак параллельности прямых

Теорема 16.2. Две прямые, параллельные третьей  прямой, параллельны.

Доказательство. Пусть прямые b и с параллельны прямой а. Докажем, что прямые b и с параллельны.

Случай, когда прямые a, b, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть — плоскость, в которой лежат прямые а и b, а — плоскость, в которой лежат прямые а и с. Плоскости и различны (рис. 325).  

Отметим на прямой b какую-нибудь точку В и проведем плоскость ₁ через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость b₁ по  прямой b₁.

Прямая b₁ не пересекает плоскость . Действительно, точка пересечения должна принадлежать прямой а, так как прямая b₁ лежит в плоскости . С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая b1 лежит в плоскости ₁.

Но прямые a и с как параллельные не пересекаются. Так как прямая b1 лежит в плоскости и не пересекает  прямую a, то она параллельна a, а значит, совпадает с b по аксиоме параллельных. Таким образом, прямая b, совпадая с прямой b1, лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости ₁) и не пересекает ее. Значит, прямые b и с параллельны. Теорема доказана.

Задача (11). Докажите, что середины сторон  пространственного четырехугольника являются вершинами  параллелограмма (вершины пространственного  четырехугольника не лежат в одной плоскости).

Решение. Пусть ABCD — данный пространственный четырехугольник (рис. 326). Пусть А₁, В₁, С₁, D₁ — сере-

дины его сторон. Тогда A₁B₁ — средняя линия  треугольника АBС, параллельная стороне АС, C₁D₁—средняя линия треугольника ACD, тоже параллельная стороне АС.

По теореме 16.2 прямые A₁B₁ и C₁D₁ параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Точно так же доказывается параллельность прямых A₁D₁ и B₁C₁.

Итак,  четырехугольник  A₁B₁C₁D₁ лежит в одной плоскости и его  противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он  параллелограмм.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.