'''Поняття “розкладання многочленів на множники”'''
+
Поняття “розкладання многочленів на множники”
-
<br>[[Image:1901-15.jpg|480px|Способи розкладання многочлена на множники]]<br><br>[[Розклад многочленів на множники. Винесення спільного множника за дужки. Задачі та вправи|Розкласти многочлен на множники]] означає перетворити [[Многочлени. Повні уроки|многочлен]] на добуток двох чи декількох многочленів. Є чотири '''[[Фішки до уроку «Розкладання многочленів на множники різними способами. Перетворення виразів»|способи розкладання многочлена на множники]]'''.
+
<br>[[Image:1901-15.jpg|480px|Способи розкладання многочлена на множники]]<br><br>[[Розклад многочленів на множники. Винесення спільного множника за дужки. Задачі та вправи|Розкласти многочлен на множники]] означає перетворити [[Многочлени. Повні уроки|многочлен]] на добуток двох чи декількох многочленів. Є чотири [[Фішки до уроку «Розкладання многочленів на множники різними способами. Перетворення виразів»|способи розкладання многочлена на множники]].
-
'''Винесення спільного множника за дужки'''
+
Винесення спільного множника за дужки
Один з них - це [[Розклад многочленів на множники. Винесення спільного множника за дужки|винесення спільного множника за дужки]]. <br>
Один з них - це [[Розклад многочленів на множники. Винесення спільного множника за дужки|винесення спільного множника за дужки]]. <br>
Строка 35:
Строка 35:
3) записати добуток спільного множника на отриману суму.
3) записати добуток спільного множника на отриману суму.
-
'''<br>Зауваження: '''якщо при винесенні за дужки спільний множник виноситься зі знаком «-», то знаки доданків в дужках змінюються на протилежні.<br><br>[[Image:1901-16.jpg|480px|Алгоритм розкладання многочлена на множники]]<br> <br>'''Приклад 1.''' Розкласти на множники многочлен 12х<sup>2</sup>у-18х<sup>2</sup>у<sup>2</sup>.
+
'''<br>Зауваження: '''якщо при винесенні за дужки спільний множник виноситься зі знаком «-», то знаки доданків в дужках змінюються на протилежні.<br><br>[[Image:1901-16.jpg|480px|Алгоритм розкладання многочлена на множники]]<br> <br>Приклад 1'''.''' Розкласти на множники многочлен 12х<sup>2</sup>у-18х<sup>2</sup>у<sup>2</sup>.
Спочатку знайдемо [[Розклад многочленів на множники. Винесення спільного множника за дужки. Закриті вправи|спільний числовий множник]] для коефіцієнтів 12 і -18, якщо коефіцієнтами є цілі числа, то за спільний числовий множник беруть, як правило, найбільший спільний дільник модулів цих коефіцієнтів. У нашому випадку - це число 6. [[Степінь з натуральним показником. Властивості степеня. Повні уроки|Степені]] з основою х входять в обидва члени многочлена. Оскільки перший член містить х<sup>3</sup>=х<sup>2</sup> х, а другий - х<sup>2</sup>, то спільнийм множником для степенів з основою х є х<sup>2</sup> (за дужки виносять змінну з меншим показником). У члени многочлена входять відповідно множники у і у<sup>2</sup>, за дужки можно винести у. Отже, за дужки можно винести одночлен 6х<sup>2</sup>у:
Спочатку знайдемо [[Розклад многочленів на множники. Винесення спільного множника за дужки. Закриті вправи|спільний числовий множник]] для коефіцієнтів 12 і -18, якщо коефіцієнтами є цілі числа, то за спільний числовий множник беруть, як правило, найбільший спільний дільник модулів цих коефіцієнтів. У нашому випадку - це число 6. [[Степінь з натуральним показником. Властивості степеня. Повні уроки|Степені]] з основою х входять в обидва члени многочлена. Оскільки перший член містить х<sup>3</sup>=х<sup>2</sup> х, а другий - х<sup>2</sup>, то спільнийм множником для степенів з основою х є х<sup>2</sup> (за дужки виносять змінну з меншим показником). У члени многочлена входять відповідно множники у і у<sup>2</sup>, за дужки можно винести у. Отже, за дужки можно винести одночлен 6х<sup>2</sup>у:
'''Приклад 3.''' Розкласти на множники 5х(а-с)+3(а-с)
+
Приклад 3'''.''' Розкласти на множники 5х(а-с)+3(а-с)
Даний вираз є сумою двох доданків, для яких спільним множником є вираз а-с. Винесемо цей множник за дужки:
Даний вираз є сумою двох доданків, для яких спільним множником є вираз а-с. Винесемо цей множник за дужки:
Строка 51:
Строка 51:
5х(а-с)+3(а-с)=(а-с)(5х+3)
5х(а-с)+3(а-с)=(а-с)(5х+3)
-
'''Приклад 4.''' Розкласти на множники 2х(а-с)+у(с-а)
+
Приклад 4'''.''' Розкласти на множники 2х(а-с)+у(с-а)
Доданки мають множники а-с і с-а, які відрізняються тільки знаками. У виразі с-а винесемо за дужки -1, тоді другий доданок матиме вигляд -у(а-с) й обидва доданки матимуть спільний множник а-с.
Доданки мають множники а-с і с-а, які відрізняються тільки знаками. У виразі с-а винесемо за дужки -1, тоді другий доданок матиме вигляд -у(а-с) й обидва доданки матимуть спільний множник а-с.
Строка 57:
Строка 57:
Отже, 2х(а-с)+у(с-а)= 2х(а-с)-у(а-с)=(а-с)(2х-у)
Отже, 2х(а-с)+у(с-а)= 2х(а-с)-у(а-с)=(а-с)(2х-у)
-
'''Приклад 5.''' Знайти значення виразу 8,5а<sup>2</sup>+а<sup>3</sup>. якщо а=1,5
+
Приклад 5'''.''' Знайти значення виразу 8,5а<sup>2</sup>+а<sup>3</sup>. якщо а=1,5
Рокладемо спочатку многочлен 8,5а<sup>2</sup>+а<sup>3</sup> на множники:<br>
Рокладемо спочатку многочлен 8,5а<sup>2</sup>+а<sup>3</sup> на множники:<br>
<br>Для розв'язування задач на розклад многочленів на множники, варто застосовувати формули скороченого множення:<br><br>1) х<sup>2</sup>-у<sup>2</sup>=(х-у)(х+у);
<br>Для розв'язування задач на розклад многочленів на множники, варто застосовувати формули скороченого множення:<br><br>1) х<sup>2</sup>-у<sup>2</sup>=(х-у)(х+у);
<br>''1. Урок на тему «Многочлени» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323).<br>2. Істер О. А. «Алгебра. 7 клас».<br>3. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., ЯкірМ. С. Збірник задачізавдань для тематичного оцінювання з алгебри для 7 класу. – Харків,'''[http://xvatit.com/vuzi/ '''Гімназія''']''', 2004. – 112 с.: іл.''<br>
+
<br>1. Урок на тему «Многочлени» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323).<br>2. Істер О. А. «Алгебра. 7 клас».<br>3. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., ЯкірМ. С. Збірник задачізавдань для тематичного оцінювання з алгебри для 7 класу. – Харків,[http://xvatit.com/vuzi/ Гімназія], 2004. – 112 с.: іл.<br>
2) поділити на нього кожний член многочлена і отриману суму взяти в дужки;
3) записати добуток спільного множника на отриману суму.
Зауваження: якщо при винесенні за дужки спільний множник виноситься зі знаком «-», то знаки доданків в дужках змінюються на протилежні.
Приклад 1. Розкласти на множники многочлен 12х2у-18х2у2.
Спочатку знайдемо спільний числовий множник для коефіцієнтів 12 і -18, якщо коефіцієнтами є цілі числа, то за спільний числовий множник беруть, як правило, найбільший спільний дільник модулів цих коефіцієнтів. У нашому випадку - це число 6. Степені з основою х входять в обидва члени многочлена. Оскільки перший член містить х3=х2 х, а другий - х2, то спільнийм множником для степенів з основою х є х2 (за дужки виносять змінну з меншим показником). У члени многочлена входять відповідно множники у і у2, за дужки можно винести у. Отже, за дужки можно винести одночлен 6х2у:
12х2у-18х2у2=6х2у 2х-6х2у 3у=6х2у(2х-3у).
Приклад 2. Розкласти на множники многочлен -2х2у-8х2у2+10ху2
-2х2у-8х2у2+10ху2=-2ху(х+4ху-5у)
Приклад 3. Розкласти на множники 5х(а-с)+3(а-с)
Даний вираз є сумою двох доданків, для яких спільним множником є вираз а-с. Винесемо цей множник за дужки:
5х(а-с)+3(а-с)=(а-с)(5х+3)
Приклад 4. Розкласти на множники 2х(а-с)+у(с-а)
Доданки мають множники а-с і с-а, які відрізняються тільки знаками. У виразі с-а винесемо за дужки -1, тоді другий доданок матиме вигляд -у(а-с) й обидва доданки матимуть спільний множник а-с.
Отже, 2х(а-с)+у(с-а)= 2х(а-с)-у(а-с)=(а-с)(2х-у)
Приклад 5. Знайти значення виразу 8,5а2+а3. якщо а=1,5
Рокладемо спочатку многочлен 8,5а2+а3 на множники:
Для розв'язування задач на розклад многочленів на множники, варто застосовувати формули скороченого множення:
1) х2-у2=(х-у)(х+у);
2) (х+у)2=х2+2ху+у2;
3) (х-у)2=х2-2ху+у2;
4) (х+у)3=х3+3х2у+3ху2+у3;
5) (х-у)3=х3-3х2у+3ху2-у3;
6) х3-у3=(х-у)(х2+ху+у2);
7) х3+у3=(х+у)(х2-ху+у2);
8) (х+у+z)3=х2+у2+z2+2(ху+хz+уz);
Самостійна робота
Список використаної літератури
1. Урок на тему «Многочлени» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323). 2. Істер О. А. «Алгебра. 7 клас». 3. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., ЯкірМ. С. Збірник задачізавдань для тематичного оцінювання з алгебри для 7 класу. – Харків,Гімназія, 2004. – 112 с.: іл.
Відредаговано і надіслано Мазуренко М.С.
Над уроком працювали
Конченко Т. М.
Мазуренко М.С.
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, но и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.