Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Геометрическая прогрессия

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Геометрическая прогрессия


Геометрическая прогрессия


Для удобства читателя этот параграф строится точно по тому же плану, которого мы придерживались в предыдущем параграфе.

1. Основные понятия.

Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число называют геометрической прогрессией. При этом число 5 называют знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (bn), заданная рекуррентно соотношениями

Геометрическая прогрессия
Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она геометрической прогрессией? Можно. Если вы убедились в том, что отношение любого члена последовательности к предыдущему члену постоянно Геометрическая прогрессия то перед вами— геометрическая прогрессия.
Пример 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
Это геометрическая прогрессия, у которой Ь1 = 1, q = 3.

Пример 2.
Геометрическая прогрессия

Это геометрическая прогрессия, у которой Геометрическая прогрессия
Пример 3.

Геометрическая прогрессия
Это геометрическая прогрессия, у которой Геометрическая прогрессия
Пример 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Это геометрическая прогрессия, у которой b1 — 8, q = 1.

Заметим, что эта последовательность является и арифметической прогрессией (см. пример 3 из § 15).

Пример 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Это геометрическая прогрессия, у которой b1 = 2, q = -1.

Очевидно, что геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b1 > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b1> 0, 0 < q < 1 (см. пример 2).

Для обозначения того, что последовательность (bn) является геометрической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись:

Геометрическая прогрессия
Значок Al9178.jpg заменяет словосочетание «геометрическая прогрессия».
Отметим одно любопытное и в то же время достаточно очевидное свойство геометрической прогрессии:
Если последовательность Геометрическая прогрессия является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е. Геометрическая прогрессия является геометрической прогрессией.
У второй геометрической прогрессии первый член равен Al91711.jpg а знаменатель равен q2.
Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следующие за bn, то получится конечная геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия
В дальнейших пунктах этого параграфа мы рассмотрим наиболее важные свойства геометрической прогрессии.


2. Формула п-го члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию Геометрическая прогрессиязнаменателем q. Имеем:

Геометрическая прогрессия
Нетрудно догадаться, что для любого номера n справедливо равенство

Формула
Это — формула n-го члена геометрической прогрессии.

Замечание.

Если вы прочли важное замечание из предыдущего параграфа и поняли его, то попробуйте доказать формулу (1) методом математической индукции подобно тому, как зто было сделано для формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Перепишем формулу n-го члена геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии
и введем обозначения: Обозначения Получим у = mq2, или, подробнее, Обозначения
Аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной функцией. Значит, геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию, заданную на множестве N натуральных чисел. На рис. 96а изображен график функции Обозначения рис. 966 — график функции Обозначения В обоих случаях имеем изолированные точки (с абсциссами х= 1, х = 2, х = 3 и т.д.), лежащие на некоторой кривой (на обоих рисунках представлена одна и та же кривая, только по-разному расположенная и изображенная в разных масштабах). Эту кривую называют экспонентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в курсе алгебры 11-го класса.

График функции
Вернемся к примерам 1—5 из предыдущего пункта.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Это геометрическая прогрессия, у которой Ь1 = 1, q = 3. Составим формулу n-го члена Геометрическая прогрессия
2) Al91723.jpg  Это геометрическая прогрессия, у которой Данные Составим формулу n-го члена
Геометрическая прогрессия
Это геометрическая прогрессия, у которой Данные Составим формулу n-го члена Формула
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Это геометрическая прогрессия, у которой b1 = 8, q = 1. Составим формулу n-го члена Задание
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Это геометрическая прогрессия, у которой b1 = 2, q = —1. Составим формулу n-го члена Формула

Пример 6.

Дана геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Решение.

Во всех случаях в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула
а) Положив в формуле n-го члена геометрической прогрессии n = 6, получим

Формула
б) Имеем

Формула
Формула
Так как 512 = 29, то получаем п - 1 = 9, п = 10.

в) Имеем

Решение
г) Имеем

Решение

Пример 7.

Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 48, сумма пятого и шестого членов прогрессии также равна 48. Найти двенадцатый член этой прогрессии.

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Условия задачи можно кратко записать так:

Условия задачи
Воспользовавшись формулой n-го члена геометрической прогрессии, получим:Задание
Тогда второе условие задачи (b7 - b5 = 48) можно записать в виде

Задание
Третье условие задачи (b5 +b6 = 48) можно записать в виде

Условие
В итоге получаем систему двух уравнений с двумя переменными b1 и q:

Уравнения
которая в сочетании с записанным выше условием 1) и представляет собой математическую модель задачи.

Второй этап.

Работа с составленной моделью. Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим:

Решение
(мы разделили обе части уравнения на выражение b1q4, отличное от нуля).

Из уравнения q2 - q - 2 = 0 находим q1 = 2, q2 = -1. Подставив значение q = 2 во второе уравнение системы, получим Решение
Подставив значение q = -1 во второе уравнение системы, получим b1 • 1 • 0 = 48; это уравнение не имеет решений.

Итак, b1=1, q = 2 — эта пара является решением составленной системы уравнений.

Теперь мы можем записать геометрическую прогрессию, о которой идет речь в задаче: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .


Третий этап.

Ответ на вопрос задачи. Требуется вычислить b12. Имеем

Решение
О т в е т: b12 = 2048.


3. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия
Обозначим через Sn сумму ее членов, т.е.

Геометрическая прогрессия
Выведем формулу для отыскания этой суммы.

Начнем с самого простого случая, когда q = 1. Тогда геометрическая прогрессия b1,b2, b3,..., bn состоит из n чисел, равных b1, т.е. прогрессия имеет вид b1, b2, b3, ..., b4. Сумма этих чисел равна nb1.

Пусть теперь q = 1 Для отыскания Sn применим искусственный прием: выполним некоторые преобразования выражения Snq. Имеем:

Геометрическая прогрессия

Выполняя преобразования, мы, во-первых, пользовались определением геометрической прогрессии, согласно которому Геометрическая прогрессия (см. третью строчку рассуждений); во-вторых, прибавили и вычли отчего значение выражения, разумеется, не изменилось (см. четвертую строчку рассуждений); в-третьих, воспользовались формулой n-го члена геометрической прогрессии:

Геометрическая прогрессия
Из формулы (1) находим:

Формула

Это — формула суммы n членов геометрической прогрессии (для случая, когда q = 1).

Пример 8.

Дана конечная геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

а)    сумму членов прогрессии; б) сумму квадратов ее членов.

Решение.

а) Имеем

Решение

б)  Выше (см. с. 132) мы уже отмечали, что если все члены геометрической прогрессии возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия с первым членом Ь2 и знаменателем q2. Тогда сумма шести членов новой прогрессии будет вычисляться по


Решение

Пример 9.

Найти 8-й член геометрической прогрессии, у которой Решение

Решение. Решение
Фактически мы доказали следующую теорему.

Числовая, последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого Теорема    (и последнего, в случае конечной последовательности ),равен произведению предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство геометрической прогрессии ).

В предыдущем параграфе мы получили характеристическое свойство арифметической прогрессии: любой ее член равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Обратимся теперь к характеристическому свойству геометрической прогрессии и выполним некоторые преобразования равенства.

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс


Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.