Версия 14:30, 7 февраля 2013

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Трапеция. Полные уроки

Тема урока

• Трапеция.

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
• Сформулировать и доказать свойства трапеции, доказать ее свойства.
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Повторение ранее изученного материала.
2. Трапеция, ее свойства и признаки.
3. Задачи.

Повторение ранее изученного материала

Четырёхугольник

Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны.

Четырёхугольник, геометрическая фигура — многоугольник с четырьмя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A₁B₁C₁D₁).

Виды четырёхугольников

• Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны параллельны;
  
• Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
  
• Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
  
• Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
  
• Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
  
• Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.
  
  

Трапеция

Определение

Трапеция в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет.

Трапеция в геометрии - четырехугольник, с парой параллельных сторон, и с другой парой непараллельных

Трапеция - четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны, называемые основаниями трапеции, а другие две - непараллельны.

Трапеция (от др.-греч — «столик», «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.

Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Также слово трапеция имеет и другое определение в гимнастике это гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках.

Акробатические упражнения на трапеции.

Летающая (воздушная) трапеция была изобретена в 19 веке во Франции Джулиусом Леотардом.

В цирке, номер воздушной гимнастики. Состоит из трюковых перелётов гимнаста (вольтижёра) с трапеции на трапецию или с трапеции в руки партнёра (ловитора). Создатель номера (1859) французский артист Ж. Леотар устанавливал трапеции на небольшой высоте. Впоследствии аппаратура была перенесена под купол цирка, вольтижёры-гимнасты исполняют перекрёстные полёты, проделывают в воздухе сальто-мортале (до трёх).

Трапеция настолько распространенное слово что имеет отношение и к бодибилдингу. В этом виду спорта трапецией называют мышцы спины.

Элементы трапеции

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
  
  

Виды трапеций

Определение.  Остроугольной трапецией называется трапеция, у которой углы, прилегающие к большему основанию острые.
Определение. Тупоугольной трапецией называется трапеция, у которой один из углов, прилегающих к большему основанию тупой.
Определение.  Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.
 Определение. Равнобедренной (равнобокой, равнобочной) называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Основные теоремы

Параллельные стороны не могут быть равными, т.к. в противном случае мы имели бы параллелограмм. Поэтому одну из них мы назовем большим, вторую - малым основанием трапеции. Высотой трапеции можно назвать любой отрезок перпендикуляра, проведенного из вершин на соответственно противоположную сторону (для каждой вершины есть две противоположные стороны), заключенный между взятыми вершиной и противоположной стороной. Но можно выделить "особый вид" высот.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть дана трапеция АВСD и средняя линия КМ. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD через точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСм и МРD равны по стороне и двум углам (СМ=МD, РВСМ=РМDР - накрестлежащие, РВМС=РDМР - вертикальные), поэтому ВМ=МР или точка М - середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР.

Теорема. Диагонали делят трапецию на четыре части, две из которых, прилежащие к боковым сторонам, равовелики.

Напомню, что фигуры называются равновеликими, если у них одинаковая площадь. Треугольники АВD и АСD равновелики: у них равные высоты (обозначенные желтым) и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть АОD.

Площадь

В случае, если a и b — основания и h высота, формула площади:

Формула, где a, b, c и d — стороны трапеции:

Задачи

Задача №1

Диагонали BD и AC трапеции ABCD пересекаются в точке O. Длина диагонали BD равна 40 см. Найдите величину отрезка ОD, если основания трапеции BC и AD относятся как 3 к 7.

Решение.
Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как 3 к 7. Таким образом:

BO / OD = 3 / 7

По условию задачи, BO + OD = 40, соответственно

OD = 40 - BO

Таким образом,

BO / ( 40 - BO ) = 3 / 7
7BO = 3 ( 40 - BO )
7BO = 120 - 3BO
10BO = 120
BO = 12

Соответственно, OD = 40 - 12 = 28

Ответ: 28 см

Задача №2

Разность оснований трапеции равна 4 см, а средняя линия 10 см. Найдите основания трапеции.

Решение.
Обозначим большее основание как а, а меньшее как b. Учтем при этом следующее:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме

Значит:

a - b = 4
(a + b) / 2 = 10

Откуда a = b + 4, тогда

(b + 4 + b) / 2 = 10
2b + 4 = 20
b = 8

Следовательно a = b + 4 = 12

Ответ: Основания трапеции равны 8 и 12 см

Задача №3

Четырёхугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2 имеет две параллельные стороны и разбит на четыре одинаковые фигуры (см. рисунок). В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найдите отношение длины большего отрезка к меньшему.

Решение.

Пусть x — длина меньшего отрезка. В верхней стороне четырёхугольника, имеющей длину 1, укладывается 3 маленьких отрезка и один большой. Значит, длина большого отрезка равна 1 - 3x. В нижней стороне четырёхугольника, имеющей длину 2, укладывается 3 больших отрезка и один маленький. Получаем уравнение

3^. (1 - 3x) + x = 2.

Отсюда

3 - 9x + x = 2.

Следовательно,

х = 1/8

Итак, длина меньшего отрезка равна 1/8. Поэтому длина большего равна 1 - 3 . 1/8 = 1 - 3/8 = 5/8. Значит, больший отрезок в пять раз длиннее меньшего.

Ответ: 5

Задача №4

Средняя линия трапеции равна 6, а разность оснований равна 4. Найдите основания.

Решение.

Пусть основания трапеции равны a и b ( a>b ). По теореме о средней линии трапеции

 = 6;

Из системы

находим, что a=8 , b=4 .

Ответ: основания трапеции равны 8 и 4.

Интересный факт

Юбка – трапеция.

Одну из главных ролей в гардеробе любой женщины играет юбка. Меняются времена, меняется мода, но универсальным элементом всегда остаётся юбка – трапеция. В классике моды она занимает вполне почётное и заслуженное место. Кристиан Диор показал юбки такого силуэта впервые в 1947 году. Но до сих пор они не выходят из моды, хотя прошло уже более шестидесяти лет.

Кстати, вспомните английскую королеву. Юбка – трапеция была непременным предметом её гардероба, можно сказать, визитной карточкой.

Облегающая талию и расширяющаяся книзу модель сочетается с любыми блузками, топиками, пиджаками, а то и свитерами. Демократичность этого фасона позволяет носить её как со строгими пиджаками, так и с футболками и майками. В результате её можно надеть как в офис, так и на дискотеку.

Кстати, вариант “юбка – трапеция” используется и в фасонах вечерних платьев. Главное правило – небольшие пропорции между сторонами трапеции. Тогда платье будет выглядеть элегантно, а его хозяйке оно придаст стройность. По сути, старая добрая трапеция смотрится также оригинально, как модная в этом сезоне юбка тюльпан и юбка солнце клеш.

Одно из главных достоинств юбки – трапеция – это то, что надеть её может женщина с любой фигурой. А длина юбки меняется в зависимости от модных тенденций – то поднимается выше колена, то опускается.

Универсальность этой модели позволяет надеть её в любой ситуации, и поэтому она ещё долго не выйдет из моды.

Вопросы

1. Что такое трапеция?
2. Где еще кроме геометрии применяется название трапеция?
3. Какие основные о трапеции Вы знаете?

Список использованных источников

1. Левченко В.С., учитель геомтрии, г. не указан, школа не указана.
2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
   

Над уроком работали

Потурнак С.А.

Левченко В.С.

Татьяна Проснякова

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.