Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Формулы двойного аргумента

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Формулы двойного аргумента


§ 24. Формулы двойного аргумента


Здесь речь пойдет о формулах тригонометрии, позволяющих выразить Задание Эти формулы обычно называют формулами двойного аргумента. Название, может быть, не очень удачно, как, впрочем, и такие названия, как "формулы приведения», «синус суммы», «косинус разности» и т.д., но это не суть важно: главное, что есть некий словесный символ, позволяющий посвященным понять, о чем идет речь.
Рассмотрим выражение sin2х, представив при этом 2х в виде х+х. Это позволит применить к выражению sin (х+ х)формулу «синус суммы» (см. § 21). Имеем:

Задание
Рассмотрим выражение соs2х, представив при этом 2х в виде х+х. Это позволит применить к выражению соs (х+х) формулу «косинус суммы» (см. § 21). Имеем:

Задание
Рассмотрим выражение tg 2х, представив при этом 2х в виде х+х. Это позволит применить к выражению tg (х+х) формулу «тангенс суммы» (см. § 23). Имеем:

Задание
Формулы «синус двойного аргумента» и «косинус двойного аргумента» справедливы для любых значений аргумента (никаких ограничений нет), тогда как формула «тангенс двойного аргумента» справедлива лишь для тех значений аргумента х, для которых определены tg х и tg 2 х, а также отличен от нуля знаменатель дроби, т.е. Alga469.jpg
Разумеется, формулы двойного аргумента можно применять и в тех случаях, когда место аргумента х занимает более сложное выражение. Так, справедливы следующие соотношения:

Задание
И, как всегда, любую из трех полученных в этом параграфе формул двойного аргумента можно использовать в написании как справа налево, так и слева направо. Например,

Задание
Пример 1. Доказать тождества:

Задание
Решение: а) Воспользуемся тем, что 1 = sin2 х + соз2 х, и формулой синуса двойного аргумента. Получим:

Задание
Пример 2. Сократить дробь Задание
Решение. В числителе дроби воспользуемся доказанным в примере 1 а тождеством, а в знаменателе — формулой косинуса двойного аргумента. Получим:

Задание
Пример3.Вычислить:Задание
Решение: а) Заданное выражение представляет собой правую часть формулы косинуса двойного аргумента. Заметив это, получим

Задание
б) Заданное выражение представляет собой правую часть формулы синуса двойного аргумента, но только не хватает множителя 2. Введя его, получим:

Задание
в) Этот пример значительно сложнее, но зато он красивее предыдущих: здесь нужно догадаться умножить и разделить заданное выражение на 4соs18°. Что это даст? Смотрите:

Задание
Как видите, мы дважды воспользовались формулой синуса двойного аргумента. Чтобы довести вычисления до конца, заметим, что 72°=90°-18°. Значит, sin 720=sin (90°-180)=соs180. Таким образом,

Задание
Пример 4. Доказать тождество Тождество
Решение. Преобразуем левую часть доказываемого тождества:

Задание
Умножив и числитель, и знаменатель последней дроби на 2 («подгоняем» знаменатель под формулу синуса двойного аргумента), получим:

Задание
Итак, Формулачто и требовалось доказать.  
Замечание. Еще раз обращаем ваше внимание на то, что тождество доказано лишь для допустимых значении х, конкретнее для Alga486.jpg
для значений х, при которых имеющиеся знаменатели отличны от нуля.
Пример 5. Зная, что

Задание
Решение: а) Воспользуемся формулой sin2 х + соз2 х = 1. Имеем:

Задание
б) Для вычисления sin2х воспользуемся формулой sin 2х = 2 sin хсоз x.
Значение соз х дано в условии, а значение sin х найдем следующим образом. Во-первых, мы уже знаем, что Задание
Во-вторых, по условию аргумент х принадлежит четвертой четверти, а в ней синус отрицателен. Это значит, что из двух значении

Задание
в) tg2х вычислим, воспользовавшись определением тангенса:

Задание
г) Для вычисления Формула сначала воспользуемся формулой приведения: Формула
Применим к выражению соз4x формулу косинуса двойного аргумента: соз4х=соз2 2х - sin2 2х. Воспользуемся тем, что значения соз 2х и sin 2xуже найдены нами:

Задание
Пример 6. Решить уравнение sin4х-соз2х=0.
Решение. Если в левой части уравнения применить к выражению sin4x формулу синуса двойного аргумента, то удастся разложить левую часть на множители. Имеем последовательно:

Задание


А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс




Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.