Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Арксинус. Решение уравнения sint = a

§ 18. Арксинус. Решение уравнения sint = a

Рассмотрим уравнения     С помощью числовой окружности (рис. 82) получаем:

Что же такое Это — число (длина дуги АМ), синус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности — отрезку

Теперь рассмотрим уравнение
С помощью числовой окружности (рис. 83) получаем:

где t₁ — длина дуги ВА, взятая со знаком минус, 1г — длина дуги К А, взятая тоже со знаком минус. Математики обозначили число t₂ символом и сразу обратили внимание на два обстоятельства.
Первое: дуги АМ и АЬ (см. рис. 82 и 83) равны по длине и противоположны по направлению. Значит,

Второе:

Сформулируем определение арксинуса в общем виде.
Определение.

Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения t = a:

Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

Пример 1. Вычислить:

Решение: а) Положим

Пример 2. Решить уравнения:

Решение: а)Составим формулы решений:

Вычислить значение арксинуса в данном случае мы не можем, поэтому запись решений уравнения оставим в полученном виде.
г) Так как -1,2 < -1, то уравнение sin t = -1,2 не имеет решений (переходить здесь к арксинусу не имеет смысла).  
Пример 3. Решить неравенства:

Решение: а) Учтем, что sin t — ордината точки М(t) числовой окружности. Значит, нам надо найти такие точки М(t), лежащие на окружности,
которые удовлетворяют неравенству Прямая пересекает числовую окружность в двух точках К и Р (рис. 87). Неравенству соответствуют точки открытой дуги КР. Главные « имена » точек

  Значит, ядром аналитической записи дуги КР является неравенство а сама аналитическая запись дуги КР имеет вид:

б)    Прямая у = 0,3 пересекает числовую окружность в двух точках КиР (рис. 88). Неравенству у > 0,3 соответствуют точки открытой дуги КР. Главные «имена» точек КиР — соответственно агсзт 0,3 и 

в)    Неравенству у <0,3 соответствуют точки открытой дуги РК (рис. 89). Главные «имена» точек Р и К в этом случае . Значит, решение неравенства имеет вид:

Полученные выше две формулы для решения уравнения sin t =а:

можно объединить одной формулой. Перепишем эти формулы следующим образом:

Замечаем, что если перед агсsin а стоит знак «+*, то у числа л множителем является четное число 2к (см. первую строку); если же перед агсsin а стоит знак «—», то у числа л множителем является нечетное число (2й + 1)(см. вторую строку). Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения sin 1=а:

Почему эта формула общая? Да потому, что при четном n (n- 2к) из нее получается первая из написанных выше формул, а при нечетном n (n = 2к +1) — вторая из написанных выше формул.
С помощью полученной общей формулы можно по-другому записать решения уравнений примера 2. Так, для уравнения

Для рассмотренного в примере 2 в) уравнения ответ можно записать так:
Теперь мы можем найти решения уравнения, которое не смогли решить в примере 2 § 16: sin t  =-0,3 Имеем

Замечание. Вы, наверное, обратили внимание на то, что мы здесь и в § 17, говоря о решении уравнений и неравенств, все время обозначали переменную буквой 2, а не х, к чему вы, естественно, больше привыкли. Это дало нам возможность более комфортно использовать для решения уравнений и неравенств числовую окружность. Теперь мы имеем готовые формулы для решения уравнений sin t = а, соs t = а. Значит, мы можем обойтись без числовой окружности. А коли так, то в дальнейшем, говоря о тригонометрических уравнениях и неравенствах, вернемся к более традиционному обозначению переменной — обозначению х.
Пример4. Вычислить:
Решение: а) Воспользовавшись определением арксинуса, получим:

Поскольку t принадлежит первой четверти, из двух указанных выше возможностей выбираем первую:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Видео  по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.