Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Арксинус. Решение уравнения sint = a
§ 18. Арксинус. Решение уравнения sint = a
Рассмотрим уравнения С помощью числовой окружности (рис. 82) получаем:
![Окружности](/images/7/7c/Alga267.jpg) Что же такое Это — число (длина дуги АМ), синус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности — отрезку
![Alga270.jpg](/images/b/bc/Alga270.jpg) Теперь рассмотрим уравнение![Alga271.jpg](/images/d/d1/Alga271.jpg) С помощью числовой окружности (рис. 83) получаем:
![Задание](/images/f/f2/Alga272.jpg) где t1 — длина дуги ВА, взятая со знаком минус, 1г — длина дуги К А, взятая тоже со знаком минус. Математики обозначили число t2 символом и сразу обратили внимание на два обстоятельства. Первое: дуги АМ и АЬ (см. рис. 82 и 83) равны по длине и противоположны по направлению. Значит,
![Задание](/images/5/5e/Alga274.jpg) Второе:
![Задание](/images/5/5a/Alga275.jpg) Сформулируем определение арксинуса в общем виде. Определение.
Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения t = a:
![Задание](/images/f/f7/Alga277.jpg) Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:
![Задание](/images/1/18/Alga278.jpg) Пример 1. Вычислить:
![Задание](/images/2/28/Alga279.jpg) Решение: а) Положим
![Задание](/images/e/ea/Alga280.jpg) Пример 2. Решить уравнения:
![Задание](/images/9/9c/Alga281.jpg) Решение: а)Составим формулы решений:
![Задание](/images/e/ea/Alga282.jpg) Вычислить значение арксинуса в данном случае мы не можем, поэтому запись решений уравнения оставим в полученном виде. г) Так как -1,2 < -1, то уравнение sin t = -1,2 не имеет решений (переходить здесь к арксинусу не имеет смысла). Пример 3. Решить неравенства:
![Окружность](/images/2/29/Alga283.jpg) Решение: а) Учтем, что sin t — ордината точки М(t) числовой окружности. Значит, нам надо найти такие точки М(t), лежащие на окружности, которые удовлетворяют неравенству Прямая пересекает числовую окружность в двух точках К и Р (рис. 87). Неравенству соответствуют точки открытой дуги КР. Главные « имена » точек
Значит, ядром аналитической записи дуги КР является неравенство а сама аналитическая запись дуги КР имеет вид:
![Задание](/images/8/8d/Alga287.jpg) б) Прямая у = 0,3 пересекает числовую окружность в двух точках КиР (рис. 88). Неравенству у > 0,3 соответствуют точки открытой дуги КР. Главные «имена» точек КиР — соответственно агсзт 0,3 и
![Задание](/images/5/57/Alga288.jpg) в) Неравенству у <0,3 соответствуют точки открытой дуги РК (рис. 89). Главные «имена» точек Р и К в этом случае . Значит, решение неравенства имеет вид:
![Задание](/images/7/7c/Alga289.jpg) Полученные выше две формулы для решения уравнения sin t =а:
![Задание](/images/e/ed/Alga290.jpg) можно объединить одной формулой. Перепишем эти формулы следующим образом:
![Задание](/images/0/03/Alga291.jpg) Замечаем, что если перед агсsin а стоит знак «+*, то у числа л множителем является четное число 2к (см. первую строку); если же перед агсsin а стоит знак «—», то у числа л множителем является нечетное число (2й + 1)(см. вторую строку). Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения sin 1=а:
![Задание](/images/b/b9/Alga292.jpg) Почему эта формула общая? Да потому, что при четном n (n- 2к) из нее получается первая из написанных выше формул, а при нечетном n (n = 2к +1) — вторая из написанных выше формул. С помощью полученной общей формулы можно по-другому записать решения уравнений примера 2. Так, для уравнения
![Задание](/images/2/23/Alga293.jpg) Для рассмотренного в примере 2 в) уравнения ответ можно записать так: ![Задание](/images/2/2d/Alga295.jpg) Теперь мы можем найти решения уравнения, которое не смогли решить в примере 2 § 16: sin t =-0,3 Имеем
![Задание](/images/8/89/Alga296.jpg) Замечание. Вы, наверное, обратили внимание на то, что мы здесь и в § 17, говоря о решении уравнений и неравенств, все время обозначали переменную буквой 2, а не х, к чему вы, естественно, больше привыкли. Это дало нам возможность более комфортно использовать для решения уравнений и неравенств числовую окружность. Теперь мы имеем готовые формулы для решения уравнений sin t = а, соs t = а. Значит, мы можем обойтись без числовой окружности. А коли так, то в дальнейшем, говоря о тригонометрических уравнениях и неравенствах, вернемся к более традиционному обозначению переменной — обозначению х. Пример4. Вычислить: ![Задание](/images/1/11/Alga297.jpg) Решение: а) Воспользовавшись определением арксинуса, получим:
![Задание](/images/0/09/Alga298.jpg) Поскольку t принадлежит первой четверти, из двух указанных выше возможностей выбираем первую:
![Задание](/images/f/f8/Alga299.jpg)
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|