KNOWLEDGE HYPERMARKET


Метод подстановки

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Метод подстановки


                                Метод подстановки


Вернемся еще раз к системе B) из § 35:

Математическая модель

Мы ее решили графическим методом в §28 и знаем, что х=2, у=5— единственное решение этой системы. А теперь будем решать ту же систему другим способом.

Первое уравнение преобразуем к виду 2у = bх, т. е. у = 2,5x;. Второе уравнение преобразуем к виду 2у = 16 - Зх и далее у = 8 - 1,5x; (все коэффициенты уравнения 2у = 16 - Зx; разделили на 2).

Теперь систему можно переписать так:

Математическая модель

Ясно, что нас интересует такое значение х, при котором 2,5x = 8 - 1,5x. Из этого уравнения находим 2,5x + 1,5x = 8; 4x = 8; х = 2.
Если х = 2, то из уравнения у = 2,5x получим у = 5. Итак, (2; 5) — решение системы (что, напомним, нам уже было известно).

Чем эти рассуждения отличаются от тех, что мы применяли в § 28? Тем, что никаких графиков строить не пришлось, вся работа шла на алгебраическом языке. Как же мы рассуждали?

Мы выразили у через х из первого уравнения и метод получили у = 2,5x. Затем подставили выражение 2,5x подстановки вместо у во второе уравнение и получили 2,5x = 8 - 1,5x. Далее решили это уравнение относительно х и получили х = 2. Наконец, по формуле у = 2,5x нашли соответствующее значение у.

И вот что важно: во втором уравнении совсем не обязательно было выражать у через х, можно было подставить 2,5x вместо у в заданное уравнение

Зx + 2у - 16 = 0.

Смотрите:
Зx + 2-2,5x-16 = 0;
Зx + 5x = 16;
8x = 16;
х = 2.

Подобный метод рассуждений называют обычно методом подстановки. Он представляет собой определенную последовательность шагов, т. е. некоторый алгоритм.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки


Алгоритм решения системы двух уравнений

Пример 1.
Решить систему уравнений:

Математическая модель

Решение.

1) Из первого уравнения системы получаем:

у = Зx - 5.
2) Подставим найденное выражение вместо у во второе уравнение системы:
2х + (3x - 5) - 7 = 0.
3) Решим полученное уравнение:
2х + Зx - 5 - 7 = 0;

Уравнение

4) Подставим найденное значение х в формулу у = Зx - 5:


Математическая модель

5) Пара Решение— единственное решение заданной системы.

Ответ: Ответ.
Вы узнали эту систему? Мы с ней встретились в предыдущем параграфе (система (5)), пробовали решить ее графическим методом, и у нас ничего не получилось. А вот метод подстановки выручит всегда, это — универсальное средство. Он и выручил нас в примере 1. Более того, метод подстановки активно применяется и в более сложных системах уравнений, не обязательно линейных, о таких системах речь впереди — в старших классах. Этот метод, быть
может, не всегда эффективен (т.е. не всегда быстро приводит к цели), но достаточно надежен.

Вернемся к рассмотренному алгоритму из пяти шагов, в котором описан метод подстановки. У вас не возник вопрос, почему у выражают именно из первого уравнения и подставляют во второе, почему не выразить у из второго уравнения и подставить в первое? И вообще, почему выражали у через х, а не х через у, почему такое неравноправие? Ответ: никакой причины нет. Выражайте что хотите и откуда хотите, ищите наиболее простые варианты.

Пример 2. Решить систему уравнений:

Математическая модель

Решение.

1) Выразим х через у из второго уравнения:

x = 11 - 12y

2) Подставим найденное выражение вместо х в первое уравнение системы:
5(11 - 12y) - 3y + 8 = 0
3) Решим полученное уравнение:
55 - 60у - Зу + 8 = 0;
63 - 63y = 0;
63y = 63;
y = 1

4) Подставим найденное значение у в формулу

х = 11 - 121 =-1.
5) Пара х--1,у = 1 — единственное решение заданной системы.
От в ет: (- 1; 1).



Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.