Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Определенный интеграл
§ 38. Определенный интеграл
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).
В декартовой прямоугольной системе координат хОу дана фигура (рис. 153), ограниченная осью х, прямыми х=а,х=Ь (а <Ъ) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а, Ь] функции у = f(х); назовем эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.
Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектор, сегмент). Используя геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.
Разобьем отрезок [а, Ь] (основание криволинейной трапеции) на п равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек
Проведем соответствующие ординаты. Тогда заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей — на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.
Рассмотрим отдельно k-тый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(хк) (рис. 154). Площадь прямоугольника равна — длина отрезка ; естественно считать составленное произведение приближенным значением площади к-то столбика.
Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь 5 заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади 5. ступенчатой фигуры, составленной из п прямоугольников (рис. 155). Имеем:
![Графики](/images/1/12/A10481.jpg)
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что
![Задание](/images/0/03/A10482.jpg) Итак, S = Sn, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше п. Принято считать, что искомая площадь есть предел последовательности ![Формула](/images/3/33/A10483.jpg) Задача 2 (о вычислении массы стержня). Дан прямолинейный неоднородный стержень (рис. 156), плотность в точке х вычисляется по формуле р=р(х). Найти массу стержня. Решение. Масса тела, как известно из курса физики, равна произведению плотности на объем (вместо объема берут площадь — если речь идет о плоской пластине; вместо объема берут длину — если речь идет о прямолинейном стержне без учета его толщины). Но этот закон действует только для однородных тел, т.е. в тех случаях, когда плотность постоянна. Для неоднородного стержня используется тот же метод, что был применен при решении задачи 1.
![Задание](/images/8/8e/A10484.jpg) 1) Разобьем отрезок [а, Ь] на п равных частей. 2) Рассмотрим k-тый участок и будем считать, что плотность во всех точках этого участка постоянна, а именно такая, как, например, в точке хк. Итак, мы считаем, что р = р (хк). 3) Найдем приближенное значение массы mк к-то участка: ![Задание](/images/5/56/A10486.jpg) 4) Найдем приближенное значение массы m стержня:
![Задание](/images/a/aa/A10487.jpg) 5) Точное значение массы стержня вычисляется по формуле
Задача 3 (о перемещении точки).
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t); пусть для определенности t>(f) >0. Найти перемещение точки за промежуток времени [а, Ь].
Решение. Ее ли бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение двух предыдущих задач.
1) Разделим промежуток времени [а, Ь] на п равных частей. 2) Рассмотрим промежуток времени и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени. Итак, мы считаем, что v = v (t4). 3) Найдем приближенное значение перемещения точки зк за промежуток времени
![Формула](/images/0/0d/A10491.jpg) 4) Найдем приближенное значение перемещения з:
![Задание](/images/2/24/A10492.jpg) 5) Точное значение перемещения вычисляется по формуле ![Формула](/images/5/55/A10493.jpg) Подведем итоги. Три различные задачи привели при их решении к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить, т.е.:
а) присвоить ей новый термин, б) ввести для нее обозначение, в) научиться с ней работать.
Этим и займемся.
2. Понятие определенного интеграла
Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции у = f(х), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а, Ь]:
1) разбивают отрезок [а, Ь] на n равных частей; 2) составляют сумму:
![арксинус](/images/f/fe/A10494.jpg) 3) вычисляют ![A10495.jpg](/images/0/0c/A10495.jpg) В курсе математического анализа доказано, что при указанных условиях этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции у =f(x) по отрезку [а, Ь] и обозначают так:
![Формула](/images/d/dc/A10496.jpg) (читают: «интеграл от а до Ь эф от икс дз икс»). Числа а и Ь называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним). Замечание. Приведем правдоподобную версию происхождения указанного обозначения и термина: — стилизованная буква напоминание о слагаемых вида из которых состоит сумма 5д. Само слово интеграл происходит от латинского слова integer — «целый». Употребление этого термина вполне оправданно: вспомните, какой смысл вкладывается в русском языке в слово интеграция — восстановление, восполнение, воссоединение; подробнее — это процесс, ведущий к состоянию связанности отдельных частей в целое. В построенной математической модели речь фактически идет о воссоединении целого по отдельным частям (например, о нахождении всей площади — по площадям столбиков, как было в задаче 1). Вернемся к трем рассмотренным выше задачам. Результат, полученный в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
![Формула](/images/6/67/A10500.jpg) здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 153. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. Из решения задачи 2 следует, что масса m неоднородного стержня с плотностью р(х) вычисляется по формуле
![Формула](/images/4/40/A10501.jpg) В этом состоит физический смысл определенного интеграла. Из решения задачи 3 следует, что перемещение з точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t =а до 1 = Ъ, вычисляется по формуле
![Формула](/images/d/db/A10502.jpg) Это — еще одно физическое истолкование определенного интеграла.
3. Формула Ньютона—Лейбница
После внимательного изучения предыдущего параграфа у вас, наверное, возник вопрос: почему в названии построенной математической модели содержится слово «интеграл», ведь в § 37 это слово ассоциировалось у нас с термином «первообразная». Есть ли какая-либо связь между определенным интегралом и первообразной? Ключ к разгадке дает задача 3. С одной стороны, перемещение 8 точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t), за промежуток времени от t=a до t =Ь вычисляется по формуле
![Формула](/images/2/24/A10503.jpg) С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s (t); значит, перемещение S выражается формулой S = s(b) -S(а). В итоге получаем:
![Формула](/images/f/f4/A10504.jpg) где S (t) — первообразная для v(t). Вернемся к задаче 1 — о вычислении площади криволинейной трапеции (см. рис. 153). Мы установили, что
![Формула](/images/4/46/A10505.jpg) Сейчас мы покажем другое решение этой задачи, которое приведет нас к формуле
![Формула](/images/6/62/A10506.jpg) где F (х) — первообразная для f(х). Будем считать для упрощения, что у = f(х) — возрастающая функция на отрезке [а, Ь). Выберем между а и Ь на оси абсцисс фиксированную точку х и рассмотрим криволинейную трапецию аАМх (рис. 157), обозначим ее площадь через 5 (х). Каждому х из отрезка [а, Ь] соответствует вполне определенное значение S(х), т.е. можно говорить о функции u = S(х). Эта функция определена на отрезке [а, Ь], она неотрицательна и возрастает (чем больше х, тем большую площадь имеет криволинейная трапеция аАМх).
Особо отметим значения функции на концах отрезка [а, b]:
если х=а, то трапеция аАМх «вырождается» в отрезок аА, его площадь равна нулю, т.е. S(а) =0;
![График](/images/f/fb/A10507.jpg) если а = Ь, то трапеция аАМх совпадает с трапецией аAВЬ, площадь 5 которой нам как раз и надо вычислить, т.е. S(Ь) =5. Вся подготовительная работа закончена, приступим к решению задачи о вычислении площади криволинейной трапеции аАВЬ. Осуществим это решение в два этапа.
Первыйэтап. Найдем производную функции u =S(х), применив выработанный в § 32 алгоритм. 1) Для фиксированного значения х имеем:![A10508.jpg](/images/c/cd/A10508.jpg) 2) Дадим аргументу приращение (пусть для определенности выполняется неравенство ). Для значения имеем (рис. 158)
площадь узенького столбика хМРр на рис. 158.
4) Функция у=f(х) возрастает на отрезке значит, f(х) — наименьшее значение функции на указанном отрезке, а — наибольшее значение функции на указанном отрезке. Но тогда
Анализируя неравенство (2), логично предположить, что тогда в курсе математического анализа доказано, что это верно. Но, как известно,
иными словами, S (х) — первообразная для f(х). Второй зтап. Имеем: S(Ь) = S; S (а) = 0, значит, S = S(b)-S(а). Приступая к решению задачи, мы для функции f(х) выбрали первообразную F(х). Значит, теперь у нас есть две первообразные для f(х): F(х) и S (х). Они, как известно, отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е. S(х)=F(х)+С. Далее имеем:
![Задание](/images/5/57/A10518.jpg) Сопоставив этот результат с формулой (1), получим:
![Формула](/images/4/47/A10519.jpg) Вообще, в курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона—Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646—1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.
Замечание. То, что математическую формулу вывели философ и физик, никого не удивляет, ведь математика — язык, на котором говорит сама природа.
На практике вместо записи F(Ь)-F(а) используют запись (ее называют иногда двойной подстановкой) и соответственно переписывают формулу Ньютона—Лейбница в виде:
![Формула](/images/2/23/A10522.jpg) Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку. Пример 1. Вычислить ![A10523.jpg](/images/4/42/A10523.jpg) Решение. Первообразной для х3 служит
Пример 2. Вычислить ![Задание](/images/b/b6/A10525.jpg) Решение. Здесь для отыскания первообразной удобнее воспользоваться знаком неопределенного интеграла, при этом полезно числитель дроби, содержащейся под знаком интеграла, разделить почленно на ее знаменатель:
![Задание](/images/c/ce/A10526.jpg)
Теперь вычислим определенный интеграл:
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin х и осью абсцисс.
![Задание](/images/1/16/A10528.jpg) Решение. Можно взять полуволну синусоиды от точки х = 0 до точки х = к (рис. 159) и воспользоваться формулой (1) при следующих условиях: а = О, Ь = п, f(x) = sin х. Получим:
![Задание](/images/9/90/A10529.jpg) (в процессе вычислений мы учли, что первообразной для sin x является -соs x:). Ответ: S=2. Опираясь на формулу Ньютона—Лейбница, нетрудно обосновать некоторые свойства определенного интеграла. Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
![Задание](/images/4/45/A10530.jpg) Доказательство. Если F(х) — первообразная для f(х), а G(x) — первообразная для g(х), то f(х)+G(x) — первообразная для f(х)+g(х). Тогда:
![Задание](/images/9/92/A10531.jpg) Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
Свойство 3. Если а < с < Ь, то
![Задание](/images/b/b4/A10533.jpg) {аддитивное свойство интеграла).
Доказательство.
![Задание](/images/d/d0/A10534.jpg) Геометрический смысл аддитивного свойства интеграла заключается в том, что (см. рис. 160) площадь криволинейной трапеции равна сумме площадей криволинейных трапеций, из которых она составлена:
4. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
С помощью интеграла можно вычислить площади не только криволинейных трапеций того вида, который представлен на рис. 160, но и плоских фигур более сложного вида, например, такого, который представлен на рис. 161. Фигура F (рис. 161а) ограничена прямыми x =а, и графиками непрерывных функций у = f(х), у = g(х), причем на отрезке [а, Ь] выполняется неравенство g(х)<f(х). Для вычисления площади такой фигуры будем рассуждать следующим образом.
![Задание](/images/b/bd/A10536.jpg) Выполним параллельный перенос фигуры Р на т единиц вверх (m > 0) так, чтобы фигура Р оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс (рис. 161 б). Теперь она ограничена сверху и снизу графиками функций у = f(х)+m, у = g(х)+m, причем обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [а, Ь]. Имеем:
![Задание](/images/9/96/A10537.jpg) Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = Ь и графиками функций у = f(х)>v = S(х)> непрерывных на отрезке [а, Ь] и таких, что g(х)<f(х)длявсеххиз отрезка [а, Ь], вычисляется по формуле
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х,у = Ъ- х, x = 1, х = 2.
Решение. Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рис. 162. Воспользовавшись формулой (3), получим:
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой у-х-2 и параболой у = x2 -4x + 2.
Решение. Прямую у = х-2 можно построить по точкам (2; 0) и (0; -2) (рис. 163). Абсциссу вершины параболы найдем из условия у'=0. Имеем:
![Задание](/images/d/dd/A10540.jpg) Если x = 2, то у = 22 -4-2 +2 = -2. Значит, вершиной параболы служит точка (2; -2), а осью параболы — прямая x = 2. Возьмем две пары точек,
![График](/images/1/19/A10541.jpg)
симметричных относительно оси параболы: (1; -1) и (3; -1), (0; 2) и (4; 2) и построим параболу по пяти точкам (рис. 163). Парабола и прямая пересекаются в двух точках A и B, для отыскания абсцисс этих точек надо решить уравнение х2 -4х + 2 = х-2. Находим последовательно:
Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями у = х2 -4x + 2 (снизу) и у = x —2 (сверху). Можно считать, что с боков эта фигура ограничена прямыми x = 1 и x = 4. Значит, для вычисления площади фигуры можно применить формулу (3).
![Задание](/images/9/98/A10543.jpg) Ответ: S = 4,5.
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|