Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Основные понятия

                                      Основные понятия

В главе 3 мы уже отмечали, что не любые одночлены можно складывать и вычитать, а только подобные; также отмечали и то, что реальная задача может привести к такой математической модели, в которой будет содержаться сумма неподобных одночленов. Для изучения таких сумм в математике введено понятие многочлена.

Определение. Многочленом называют сумму одночленов.

Примеры многочленов:

2а + b; bа⁴ - ЗаЬ² - Заb² + 7с; х⁵ + х⁴ + x² - 2.

Разумеется, существуют алгебраические выражения, не являющиеся многочленами. Например,

Слагаемые (одночлены), из которых состоит многочлен, называют членами многочлена: если их два, то говорят, что дан двучлеи (например, 2а + b — двучлен), если их три, то говорят^ что дан трехчлен (например, 5а² - 2сb² + 7с — трехчлен). С этой точки зрения становится понятнее термин «одночлен» и то, что одночлен обычно считают частным случаем многочлена (одночлен — это многочлен, в состав которого входит всего один член).

Замечание 1. Выше мы не раз проводили аналогию между обычным и математическим языком. В обычном языке — буквы, в математическом — числа, переменные, степени; в обычном языке — слоги, в математическом — одночлены; в обычном языке — слова, в математическом — многочлены. Но разве нет в русском языке слов, состоящих из одного слога?

Сколько угодно: «ад», «рай», «юг», «ил» и т.п.; так и в математическом языке одночлен (слог) есть многочлен (слово), просто этот многочлен состоит из одного члена.

Замечание 2. Говорят, в Африке есть племя, считающее так: «один», «два», «три», «много». Наша терминология применительно к многочленам напоминает африканскую: одночлен, двучлен, трехчлен, многочлен (обычно ни «четырехчлен», ни «пятичлен» не говорят).

Теперь подготовимся к восприятию серьезного понятия.

Рассмотрим многочлен

To, что это — многочлен, сомнению не подлежит (поскольку записана сумма одночленов), но нравится ли вам такая запись?

Наверное, нет. Почему?

Во-первых, одночлен 2ab² • 3a²b не записан в стандартном виде, а мы знаем, что стандартный вид — наиболее удобная запись одночлена. Приведя его к стандартному виду, получим: 6a³b³.

Аналогично надо привести к стандартному виду еще один член многочлена, а именно: Получим: - 2a³b³.

Теперь запись данного многочлена принимает более приятный вид

6а³b³ - 5а - 7a + Зb² - 2а³b³ - 2b².

Во-вторых, поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется, подобные одночлены можно расположить рядом, а затем сложить. Получим:

(6а³b³ - 2а³b³) + (- 5а - 7а) + (Зb² - 2b²) = 4а³b³ - 12а + b².

Правда, обычно подобные одночлен в многочлене не переставляют, их одинаково подчеркивают, а потом складывают:

Эту процедуру называют приведением подобных членов многочлена.
Если в многочлене все члены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то говорят, что многочлен приведен к стандартному виду (или записан в стандартном виде).
Теперь вы понимаете, почему запись 4а³b³ - 12а + b² предпочтительнее первоначальной записи:

Дело в том, что первоначальная запись — не стандартный вид многочлена, а 4а³b³ - 12а + b² — стандартный вид.
Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Условимся в дальнейшем всегда с этого начинать — так удобнее производить действия с многочленами.

Обычно многочлен обозначают буквой р или Р — с этой буквы начинается греческое слово polys («многий», «многочисленный»; многочлены в математике называют также полиномами). В обозначение включают и переменные, из которых состоят члены многочлена. Например, многочлен 2х²- 5x + 3 обозначают  рx) — читается: «пэ от икс»; многочлен 2х²+3ху - у⁴ обозначают  р(х, у) — читается: «пэ от икс, игрек» и т. д.

Пример. Дан многочлен

р (х, у) = 2х- Зху² - 7х³ • 2х - Зx⁴ + 2у⁴ + 5х²у² - 2ху • 4у².

а) Записать его в стандартном виде;

б) вычислить: р ( 1, 2); р (- 1,1); р ( 0,1).

Р е ш е н и е. а) Имеем:

                        =11x²y²-17x⁴+2y⁴-8xy³
— стандартный вид многочлена.

б) Запись р(1, 2) означает, что нужно найти значение многочлена р (х, у) при х = 1, у = 2. Вычисления будем производить для многочлена, записанного в стандартном виде:

р(х, у) = 11x²y² - 17x⁴ + 2у⁴ - 8ху³.

Имеем:
р( 1, 2) = 11 • I² • 2² - 17 • I⁴ + 2 • 2⁴ - 8 • 1 • 2³= 44-17+ 32-64 = -5.

Итак, (р1, 2) = -'5.

Аналогично  p(-1,1)=11 • (-1)² •1²- 17•(-1)⁴+2•14-8•(-1)•1³= 11-17 + 2 + 8 = 4,
т. е. р(- 1,1) = 4.
Наконец,
р (0, 1)= 11 • О² • I² - 17 • О⁴ + 2 • I⁴ - 8 •( 1) • I3 = = 0-0 + 2-0 = 2.

Итак, р (0, 1)=2.

_{Планы конспектов уроков по математике 7 класса скачать, учебники и книги бесплатно,разработки уроков по математике онлайн}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.