Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Первые представления о решении рациональных уравнений

Первые представления о решении рациональных уравнений

Если р (х) — рациональное выражение, то уравнение р (х) = 0 называют рациональным уравнением. Далеко не любое рациональное уравнение мы с вами сможем решить уже сейчас, для этого надо изучить другие разделы алгебры. Но справиться с некоторыми рациональными уравнениями нам уже по силам.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Выполним действия в левой части уравнения, для чего сначала приведем имеющиеся дроби к общему знаменателю 20:

Теперь заданное уравнение можно переписать в виде

Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Значит, получаем

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Равенства А = ВиА- В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Учитывая это, перепишем данное 
уравнение в виде

Это — рациональное уравнение. Выполним преобразования его левой части:

В итоге мы приходим к уравнению

Снова воспользуемся условиями равенства дроби нулю (они сформулированы в ходе решения примера 1). Получаем

2х -5 = 0;      2x = 5;       x = 2,5.

Но не забудьте, что условий равенства дроби нулю — два: равенство нулю числителя (этим мы уже воспользовались) и отличие от нуля ее знаменателя. Это второе условие надо проверить.

Если х = 2,5, то знаменатель (х - 3) (x + 3) отличен от нуля.

Все в порядке, х = 2,5 — корень уравнения.

О т в е т: х = 2,5.

К обоим условиям равенства дроби нулю надо относиться одинаково уважительно, т. е. сначала надо воспользоваться условием а = 0, а затем не забыть проверить условие . Решим, например, уравнение

Приравняв числитель к нулю, получим х - 1 = 0, т. е. x = 1. Теперь подставим значение х ~ 1 в знаменатель. Получим нуль, а на нуль делить нельзя. Что это значит? Это значит, что х = 1 не является корнем уравнения, т. е. заданное уравнение вообще не имеет корней.

Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Имеем

Выполним преобразования левой части уравнения:

Теперь заданное уравнение можно переписать в виде

Первое условие равенства дроби нулю приводит к уравнению 2х (8 - х) = 0, откуда получаем 2х = 0 или 8 - х = 0, т. е. х = 0 или x = 8.

Второе условие равенства дроби нулю обязывает нас поочередно подставить найденные значения х = 0 и х = 8в знаменатель. Поскольку ни при х = 0, ни при х = 8 знаменатель не обращается в нуль, оба значения являются корнями уравнения.

О т в е т: 0, 8.

Пример 4. Лодка прошла 10 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение.
Первый этап. Составление математической модели.

Этот этап нами уже выполнен ранее — см. пример 2 из § 1. Математическая модель задачи — уравнение

где х км/ч — собственная скорость лодки.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

В § 1 мы этого сделать не смогли. Теперь мы с вами знаем побольше, и эту модель, т. е. это уравнение, уже решили выше в примере 3. Получили х — 0 или х = 8.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Нужно выяснить, чему равна собственная скорость лодки, т. е. чему равно значение х? Мы получили, что либо х = 0, либо х = 8. Первое значение нас явно не устраивает: собственная скорость лодки не может быть равной 0 км/ч. Второе значение нас устраивает.

Ответ: собственная скорость лодки равна 8 км/ч.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.