Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Понятие корня n-й степени из действительного числа

§ 39. Понятие корня n-й степени из действительного числа

Рассмотрим уравнение x⁴ =1 и решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = хⁿ прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в двух точках:

,являются корнями уравнения х⁴ = 1.
Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х⁴ =16:

А теперь попробуем решить уравнение х⁴ =5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 164 б. Ясно, что уравнение имеет два корня x₁ и x₂, причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, взаимно противоположны. Но для первых двух уравнений корни были найдены без труда (их можно было найти и не пользуясь графиками), а с уравнением х⁴ =5 имеются проблемы: по чертежу мы не Гложем указать значения корней, а можем только установить, что один корень располагается левее точки -1, а второй — правее точки 1.
Можно доказать (примерно так же, как это сделано в нашем учебнике «Алгебра-8» для числа л/б), что х₁ и х₂ — иррациональные числа (т.е. бесконечные непериодические десятичные дроби).

Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Они ввели в рассмотрение новый символ который назвали корнем четвертой степени, и с помощью этого символа корни уравнения х⁴ = 5 записали так: (читается: «корень четвертой степени из пяти»).

Замечание 1. Сравните эти рассуждения с аналогичными рассуждениями, проведенными в § 17, 32 и 38. Новые термины и новые обозначения в математике появляются тогда, когда они необходимы для описания новой математической модели. Это — отражение особенности математического языка: его основная функция не коммуникативная — для общения, а организующая — для организации успешной работы с математическими моделями в разных областях знаний.

Мы говорили об уравнении х⁴ =а, где а >0. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении х⁴ =а, гдеа > 0, а п — любое натуральное число. Например, решая графически уравнение х⁵ = 1, находим х = 1 (рис. 165); решая уравнение х⁵' = 7, устанавливаем, что уравнение имеет один корень хг, который располагается на оси х чуть правее точки 1 (см. рис. 165). Для числа хх введем обозначение Чч.

Вообще, решая уравнение х^п =а, где а >0, n е N, п>1, получаем в случае четного п два корня: (рис. 164, в); в случае нечетного п — один корень (читается: «корень n-й степени из числа а»). Решая уравнение х^п =0, получаем единственный корень х=0.

Замечание 2. В математическом языке, как и в обыденном языке, бывает так, что один и тот же термин применяется к разным понятиям; так, в предыдущем предложении слово « корень» употреблено в двух смыслах: как корень уравнения (к такому толкованию вы давно привыкли) и как корень л-й степени из числа (новое толкование). Обычно из контекста бывает ясно, какое толкование термина имеется в виду.

Теперь мы готовы дать точное определение.

Определение 1. Корнем л-й степени из неотрицательного числа а (n = 2, 3,4, 5,...) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а.

Это число обозначают , число а при этом называют подкоренным числом, а число n — показателем корня.
Если n=2, то обычно не говорят «корень второй степени», а говорят"«корень квадратный». В этом случае не пишут  Это тот частный случай, который вы специально изучали в курсе алгебры 8-го класса.

Если n = 3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень кубический». Первое знакомство с кубическим корнем у вас также состоялось в курсе алгебры 8-го класса. Мы использовали кубический корень в § 36 при решении примера 6.

Итак,

Вообще, — одна и та же математическая модель (одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и Ь), но только вторая описана более простым языком (использует более простые символы), чем первая.

Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют обычно извлечением корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните:

Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1. И хотя, например, (-6)⁶ =36 — верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня, т.е. написать, что нельзя. По определению

Иногда выражение называют радикалом (от латинского слова гаdix — «корень»). В русском языке термин радикальный используется довольно часто, например, «радикальные изменения» — это значит «коренные изменения». Между прочим, и само обозначение корня напоминает о слове гаdix: символ — это стилизованная буква r.

Пример 1. Вычислить:

г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа Ясно лишь, что оно больше, чем 2, но меньше, чем 3, поскольку 2⁴=16 (это меньше, чем 17), а З⁴ = 81 (это больше, чем 17). Замечаем, что 24 намного ближе к 17, чем З4, так что есть основания использовать знак приближенного равенства:

Впрочем, более точное приближенное значение числа можно найти с помощью калькулятора, который содержит операцию извлечения корня, оно равно приближенно
Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня. Иными словами, равенство (-2)5 =-32 можно переписать в эквивалентной форме как . При этом используется следующее определение.

Определение 2. Корнем нечетной степени л из отрицательного числа а (n = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

Это число, как и в определении 1, обозначают , число а — подкоренное число, число n — показатель корня.
Итак,

Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т.е. определен ) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.
Пример 2. Решить уравнения:

Решение: а) Если   Фактически обе части заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим:

б)    Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвертую степень. Получим:

в)    Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной степени — неотрицательное число.
г)    Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.