KNOWLEDGE HYPERMARKET


Свойства логарифмов

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Свойства логарифмов


Свойства логарифмов


B предыдущих параграфах мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=logax, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени, мы ими уже пользовались:

Формула
Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

Формула
Например,

Задание

Доказательство. Введем следующие обозначения:

Задание.

Нам надо доказать, что выполняется равенство х = у+z.

Задание


Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+z = х, что и требовалось доказать.  

Приведем краткую запись доказательства теоремы.


Таблица


Замечания: 1. Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.

2.    Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.

Например,

Задание


3.    Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ь и с — положительные числа, причем Qw392.jpgто справедливо равенство

Задание.

Следующую теорему мы именно так и оформим.


Теорема 2. Если а,b с — положительные числа, причем Qw392.jpg, то справедливо равенство:

Равенство

Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.
Например,

Задание


Доказательство. Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1.


Таблица


Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство
Теорема 3. Если а,Ь — положительные числа, причем Qw392.jpg, то для любого числа г справедливо равенство:

Формула
Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.

Например,


Задание


Доказательство. Приведем краткую запись доказательства, а вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1.

Таблица

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс




Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.