KNOWLEDGE HYPERMARKET


Синус и косинус суммы аргументов

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Синус и косинус суммы аргументов


§21. Синус и косинус суммы аргументов


В этой главе речь пойдет о преобразовании тригонометрических выражений. Для этого используются различные -тригонометрические формулы, основные из которых мы внимательно рассмотрим.

Пожалуй, самыми важными в тригонометрии являются следующие две формулы (доказательства их технически довольно сложны, и мы их здесь не приводим):

Формула
Эти формулы обычно называют синус суммы и косинус суммы. А считаются они самыми важными потому, что, как мы увидим далее, из этих формул без особого труда выводятся практически все формулы тригонометрии. Поэтому есть смысл уделить указанным формулам особое внимание. Рассмотрим примеры, в которых используются формулы синуса суммы и косинуса суммы. Учтем при этом, что каждая из указанных формул применяется на практике как «слева направо», так и «справа налево».


Пример 1. Вычислить sin 75° и соs 75°.

Решение. Воспользуемся тем, что 75° — 45° + 30° , и тем, что значения синуса и косинуса от углов 45° и 30° мы знаем:

Задание
Задание


Пример 2. Доказать, что Формулы
Решение. Имеем:

Формулы
Замечание. Вернемся к доказанному в § 4 свойству 3. Это те самые тождества (формулы приведения), которые только что доказаны в примере 2, но ранее мы получили их с помощью числовой окружности, а сейчас — с помощью формул синуса и косинуса суммы.
Пример 3. Вычислить sin x и соs x, если х =255°.

Решение. Имеем:

Задание

Пример 4. Упростить выражение

Задание
Решение. Имеем:

Задание
Пример 5. Вычислить  sin (x + у), если известно, что

Задание
Решение. Воспользуемся формулой синуса суммы:

Задание
По условию аргумент х принадлежит первой четверти, а в ней косинус положителен. Поэтому из равенства Задание
Имеем: Задание
По условию аргумент у принадлежит третьей четверти, а в ней синус отрицателен. Поэтому из равенства: Задание
Подставим заданные и найденные значения в правую часть формулы (1):

Задание
Ответ: -1.
Пример 6. Вычислить х + у, если известно, что

Задание
Решение. В предыдущем примере мы установили, что при заданных условиях sin (x+ у)=-1.
По условию данного примера, как и в примере 5,

Задание
Сложив эти два двойных неравенства, получим:

Задание
Пример 7. Вычислить:

Задание
Решение, а) Заданное выражение можно «свернуть» в синус суммы аргументов 48° и 12°, получим:

Задание
б) Заданное выражение можно «свернуть» в косинус суммы аргументов 37° и 8°, получим:

Задание
Пример 8. Упростить выражение Задание
Решение. Если переписать заданное выражение в виде

Задание
Пример 9. Решить уравнение: Задание
Решение.В предыдущем примере мы получили, что Задание
Значит, заданное уравнение можно переписать в виде Задание
Решая это уравнение, последовательно находим:

Задание
Итак, мы познакомились с двумя тригонометрическими формулами: «синус суммы» и «косинус суммы», увидели, как эти формулы используются для доказательства тригонометрических тождеств и упрощения тригонометрических выражений, для отыскания значений тригонометрических выражений и решения тригонометрических уравнений. В § 22 мы проделаем аналогичную работу с формулами «синус разности» и «косинус разности».

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс


Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.