Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов (а₁;а₂) и (b₁;b₂) называется число a₁b₁ + a₂b₂.

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение . обозначается ² и называется скалярным квадратом. Очевидно, ²=||².

Из определения скалярного произведения векторов следует, что для любых векторов (а₁;а₂), (b₁;b₂), (c₁;c₂)

(+) = + .

Действительно, левая часть равенства есть (а₁;b₁)c_{1 +} (а₂;b₂)c₂ , а правая a₁c₁ + a₂ c₂ + b₁c₁ + b₂ c₂ . Очевидно, они равны.

Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. 

Доказательство. Пусть и — данные векторы и — угол между ними. Имеем:

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и + , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т. е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 225.

 
При таком выборе системы координат координатами вектора будут || и О, а координатами вектора будут

Теорема доказана.

Из теоремы 10.3 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача (38). Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Решение. Пусть четырехугольник ABCD — параллелограмм (рис. 226). Имеем векторные равенства

Возведем эти равенства в квадрат. Получим:

Сложим эти равенства почленно. Получим:

Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Планирование математике, материалы по математике 8 класса скачать, учебники онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.