KNOWLEDGE HYPERMARKET


Умножение многочлена на одночлен

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Умножение многочлена на одночлен



                  Умножение многочлена на одночлен


Вы, наверное, заметили, что до сих пор глава 4 строилась по тому же плану, что и глава 3. В обеих главах сначала вводились основные понятия: в главе 3 это были одночлен, стандартный вид одночлена, коэффициент одночлена; в главе 4 — многочлен, стандартный вид многочлена. Затем в главе 3 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов; аналогично, в главе 4 — сложение и вычитание многочленов.

Что было в главе 3 дальше? Дальше мы говорили об умножении одночленов. Значит, по аналогии, о чем нам следует поговорить теперь? Об умножении многочленов. Но здесь придется действовать не спеша: сначала (в этом параграфе) рассмотрим умножение многочлена на одночлен (или одночлена на многочлен, это все равно), а потом (в следующем параграфе) — умножение любых многочленов. Когда вы в младших классах учились перемножать числа, вы ведь тоже действовали постепенно: сначала учились умножать многозначное число на однозначное и только потом умножали многозначное число на многозначное.


(a + b)с =ас + bс.

Пример 1. Выполнить умножение 2 - Заb) • (-5а).

Решение. Введем новые переменные:

х = 2а2, у= Заb, z = - 5а.


Тогда данное произведение перепишется в виде (х + у)z, что по распределительному закону равно хr + уz. Теперь вернемся к старым переменным:

хz + уz - 2а2 • (- 5а) + (- Заb) • (- 5а).
Нам остается лишь найти произведения одночленов. Получим:

- 10a3 + 15a2b

Приведем краткую запись решения (так мы и будем записывать в дальнейшем, не вводя новых переменных):

(2а2 - Заb) • (- 5а) = 2а2 • (- 5а) + (- Заb) • (- 5а) =  -10а3+15а2b.

Теперь мы можем сформулировать соответствующее правило умножения многочлена на одночлен.

Правило

Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен:

- 5а(2а2 - Заb) = (- 5а) • 2а2 + (- 5а) • (- Заb) = 10а3 + 15а2b

(мы взяли пример 1, но поменяли местами множители).

Пример 2. Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если:

a) p1(x, y) - 2х2у + 4а:;

б) р2(х, у) = х2 + Зу2.

Р е ш е н и е.

а) Заметим, что 2х2у = 2х • ху, а 4а: = 2х • 2. Значит,

2x2y + 4х = xу • 2х + 2 • 2x = (ху + 2) • 2x

б) В примере а) нам удалось в составе каждого члена много члена p1(х, у) = 2х2у + 4а: выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) 2х. Здесь же такой общей части нет. Значит, многочлен р2(х, у) = х2 + Зу2 нельзя представить в виде произведения многочлена и одночлена.

На самом деле и многочлен р2(х, у) можно представить в виде произведения, например, так:

x2 + 3y2 = (2x2 + 6y2) • 0,5
или так:

x2 + 3y2 = (x2 + 3y2) • 1
— произведение числа на многочлен, но это искусственное преобразование и без большой необходимости не используется.

Кстати, требование представить заданный многочлен в виде произведения одночлена и многочлена встречается в математике довольно часто, поэтому указанной процедуре присвоено специальное название: вынесение общего множителя за скобки.

Задание вынести общий множитель за скобки может быть корректным (как в примере 2а), а может быть и не совсем корректным (как в примере 26). В следующей главе мы специально рассмотрим этот вопрос.

В заключение параграфа решим задачи, которые покажут, как на практике для работы с математическими моделями реальных ситуаций приходится и составлять алгебраическую сумму многочленов, и умножать многочлен на одночлен. Так что эти операции мы изучаем не зря.

Пример 3. Пункты А, В и С расположены на шоссе так, как показано на рисунке 3. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?


Задача


Решение.
Первый этап. Составление математической модели. Пусть х км/ч — скорость пешехода, тогда (x + 6) км/ч — скорость велосипедиста.

Расстояние от А до С велосипедист проехал за 4 ч, значит, это расстояние выражается формулой 4 (x + 6) км; иными словами, АС = 4 (х + 6).

Расстояние от В до С пешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние выражается формулой 6x км; иными словами, ВС = 6x

А теперь обратите внимание на рисунок 3: АС - ВС = АВ, т. е. АС - ВС = 16. Это — основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС = 4 (x + 6), ВС = 6x:; следовательно,

4 (х + 6) -6x = 16.

Второй этап. Работа с составленной моделью. Для решения уравнения придется, во-первых, умножить одночлен 4 на двучлен х + 6, получим 4x: + 24. Во-вторых, придется из двучлена 4x + 24 вычесть одночлен 6x:

4x + 24 - 6x = 24 - 2x
После этих преобразований уравнение принимает более простой вид:

24-2x = 16.
Далее имеем:
-2x = 16-24;
-2x = -8;
x = 4.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.


Спрашивается, чему равна собственная скорость лодки, т. е. чему равен х? Но ответ на этот вопрос уже получен: х = 8.

Ответ: собственная скорость лодки 8 км/ч.



Математика для 7 класса, учебники и книги по математике скачать, библиотека онлайн

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.