Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Уравнения и неравенства с параметрами

Уравнения и неравенства с параметрами

Если дано уравнение f(х, а) =0, которое надо решить относительно переменной х и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число, то его называют уравнением с параметром а. Основная трудность, связанная с решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнение не имеет решений, при других имеет бесконечно много решений, при третьих оно решается по одним формулам, при четвертых — по другим. Как все это учесть? Сразу скажем, что решению уравнений и неравенств с параметрами посвящена масса учебно-методической литературы. Наша задача весьма скромна: завершая изучение курса алгебры в школе, дать вам некоторое представление о том, как рассуждают при решении уравнений и неравенств с параметрами. Для этого мы рассмотрим  пример.

Пример 1. Решить относительно х:

а)    уравнение 2а( а - 2)х = а - 2;
б)    неравенство 2а(а -2)х > а -2.

Решение,

а) Обычно корень уравнения вида bх = с мы находим без труда:

,

поскольку в конкретном уравнении коэффициент b отличен от нуля. В заданном уравнении коэффициент при х равен 2а(а -2), и поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно может быть любым, следует подстраховаться, т.е. сначала предусмотреть возможность обращения указанного коэффициента в нуль.

Рассмотрим следующие случаи:

В первом случае (при а- 0) заданное уравнение принимает вид 0 • х = -2; это уравнение не имеет корней.
Во втором случае (при а = 2) заданное уравнение принимает вид 0 х = 0; этому уравнению удовлетворяют любые значения переменной х.

В третьем случае коэффициент при х отличен от нуля и, следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравнения. Получим:

б) Решая неравенство, нужно учитывать знак коэффициента при х. Поэтому для решения заданного неравенства нужно рассмотреть не три случая, как это было в п. а), а пять:

1)а = 0; 2)а = 2; 3)а<0; 4)0<а<2; 5)а>2. В первом случае (при а = 0) заданное неравенство принимает вид 0 • х > -2; этому неравенству удовлетворяют любые значения переменной х.

Во втором случае (при о = 2) заданное неравенство принимает вид 0- х > 0; это неравенство не имеет решений.
В третьем случае (при а <0) коэффициент 2а(а -2) положителен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует оставить таким, каким он был:

Сразу заметим, что так же будет обстоять дело и в пятом случае (при а > 2). В этом случае, как и в третьем, коэффициент 2а(а -2) положителен и, решая заданное неравенство, получаем:

Осталось рассмотреть четвертый случай, когда 0<а <2. В этом случае коэффициент 2а(а -2) отрицателен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует изменить на противоположный:

Ответ: а) Если а = 0, то корней нет; если а = 2, то х — любое действительное число; если

б) Если а = 2, то решений нет; если а = 0, то х — любое действительное число; если

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.