Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Функции вида y = √x, их свойства и графики

§40. Функции вида y = √x, их свойства и графики

В предыдущем параграфе мы ввели понятие корня n-й степени из действительного числа, отметили, что из любого неотрицательного числа можно извлечь корень любой степени (второй, третьей, четвертой и т.д.), а из отрицательного числа можно извлечь корень любой нечетной степени. Но тогда следует подумать и о функции вида , о ее графике, о ее свойствах. Этим мы и займемся в нас стоящем параграфе. Сначала поговорим о функции в случае неотрицательных значений аргумента.

Начнем с известного вам случая, когда n =2, т.е. с функции На рис. 166 изображен график функции и график функции у = х², х>0. Оба графика представляют собой одну и ту же кривую — ветвь параболы, только по-разному расположенную на координатной плоскости. Уточним: эти графики симметричны относительно прямой у = х, поскольку состоят из точек, симметричных друг другу относительно указанной прямой. Смотрите: на рассматриваемой ветви параболы у = х² есть точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16),   а на графике функции точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).

Точки (2; 4) и (4; 2), (3; 9) и (9; 3), (4; 16) и (16; 4) симметричны относительно прямой у = х, (а точки (0; 0) и (1; 1) лежат на этой прямой). И вообще, для любой точки (а; а²) на графике функции у = х² есть симметричная ей относительно прямой у = x точка (а²; а) на графике функции и обратно. Справедлива следующая теорема.

Доказательство. Будем считать для определенности, что а и b — положительные числа. Рассмотрим треугольники ОАМ и ОВР (рис. 167). Они равны, значит, ОР = ОМ и . Но тогда и поскольку прямая у = х — биссектриса угла АОВ. Итак, треугольник РОМ — равнобедренный, ОН — его биссектриса, а  значит, и ось симметрии. Точки М и Р симметричны относительно прямой ОН, что и требовалось доказать. 
Итак, график функции можно получить из графика функции у = х², х>0 с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. Аналогично график функции можно получить из графика функции у = х³, х> 0 с помощью преобразования симметрии относительно прямой у=х; график функции можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х и т.д. Напомним, что график функции напоминает по виду ветвь параболы Чем больше п, тем круче эта ветвь устремляется вверх на промежутке и тем ближе подходит к оси х в окрестности точки х=0 (рис. 168).

Сформулируем общий вывод: график функции симметричен графику    функции    , относительно прямой у = х(рис. 169).

Свойства функции

1)
2)    функция не является ни четной, ни нечетной;
3)    возрастает на
4)    не ограничена сверху, ограничена снизу;
5)    не имеет наибольшего значения;
6)    непрерывна;
7)

Обратите внимание на одно любопытное обстоятельство. Рассмотрим две функции, графики которых изображены на рис. 169: Только что мы перечислили семь свойств для первой функции, но абсолютно теми же свойствами обладает и вторая функция. Словесные «портреты» двух различных функций одинаковы. Но, уточним, пока одинаковы.

Математики не смогли вынести такой несправедливости, когда разные функции, имеющие разные графики, словесно описываются одинаково, и ввели понятия выпуклости вверх и выпуклости вниз. График функции обращен выпуклостью вверх, тогда как график функции у = х^п обращен выпуклостью вниз.

Обычно говорят, что непрерывная функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 170); непрерывная функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 171).

Свойство выпуклости мы будем в дальнейшем включать в процедуру чтения графика. Отметим его'(продолжив нумерацию описанных ранее свойств) для рассматриваемой функции:

8)    функция выпукла вверх на луче
В предыдущей главе мы познакомились еще с одним свойством функции — дифференцируемостью, видели, что функция у = х^п дифференцируема в любой точке, ее производная равна пх^n-1. Геометрически это означает, что в любой точке графика функции у = х^п к нему можно провести касательную. Этим же свойством обладает и график функции : в любой его точке к графику можно провести касательную. Таким образом, мы можем отметить еще одно свойство функции
9)    функция дифференцируема в любой точке х > 0.
Обратите внимание: о дифференцируемости функции в точке х = 0 речь не идет — в этой точке касательная к графику функции совпадает с осью у, т.е. перпендикулярна оси абсцисс.
Пример 1. Построить график функции
Решение.1)Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; -4) — пунктирные прямые х = -1 и у = -4 на рис. 172.
2) «Привяжем» функцию    к новой системе координат. Это и будет требуемый график.
Пример 2. Решить уравнение

Решение. Первый способ. 1) Введем в рассмотрение две функции
2)    Построим график функции

3)    Построим график линейной функции у=2-х (см. рис. 173).

4)    Построенные графики пересекаются в одной точке А, причем по графику можно сделать предположение, что координаты точкиА таковы: (1; 1). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 1) принадлежит и графику функции , и графику функции у=2-x. Значит, наше уравнение имеет один корень: х = 1 — абсцисса точки А.

Второй способ.
Геометрическая модель, представленная на рис. 173, наглядно иллюстрирует следующее утверждение, которое иногда позволяет очень изящно решить уравнение (и которым мы уже воспользовались в § 35 при решении примера 2):

Если функция у=f(х) возрастает, а функция у=g(х) убывает и если уравнение f(х)=g(х) имеет корень, то он только один.

Вот как, опираясь на это утверждение, мы можем решить заданное уравнение:

1)    заметим, что при х = 1 выполняется равенство , значит, х = 1 — корень уравнения (этот корень мы угадали);
2)    функция y=2-x убывает, а функция возрастает; значит, корень у заданного уравнения только один, и этим корнем является найденное выше значение x = 1.

Ответ: x = 1.

До сих пор мы говорили о функции только для неотрицательных значений аргумента. Но ведь если п — нечетное число, выражение имеет смысл и для x <0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.

Собственно говоря, к перечисленным добавится только одно свойство:

если n — нечетное число (n = 3,5, 7,...), то — нечетная функция.

В самом деле, пусть для нечетного показателя n такие преобразования верны. Итак, f(-x) = -f(x), а это и означает нечетность функции. 

Как же выглядит график функции в случае нечетного показателя n? При так, как показано на рис. 169, — это ветвь искомого графика. Добавив к ней ветвь, симметричную ей относительно начала координат (что, напомним, характерно для любой нечетной функции), получим график функции (рис. 174). Обратите внимание: ось у является касательной к графику в точке х = 0.
Итак, повторим еще раз:
если п — четное число, то график функции имеет вид, представленный на рис. 169;
если п — нечетное число, то график функции имеет вид, представленный на рис. 174.

Пример 3. Построить и прочитать график функции у = f(x), где
Решение. Сначала построим график функции и выделим его часть на луче (рис. 175).
Затем построим график функции и выделим его часть на открытом луче (рис. 176). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и будет график функции у = f(x)(рис. 177).
Перечислим (опираясь на построенный график) свойства функции у = f(x):

1)
2)    ни четна, ни нечетна;
3)    убывает на луче , возрастает на луче    
4)    не ограничена снизу, ограничена сверху;
5)    нет наименьшего значения, а (достигается в точке х = 1);
6)    непрерывна;
7)
8)    выпукла вниз при , выпукла вверх на отрезке [0, 1], выпукла вниз при
9)    функция дифференцируема всюду, кроме точек х = 0 и х = 1.
10)    график функции имеет горизонтальную асимптоту это означает, напомним, что

Пример 4. Найти область определения функции:

Решение, а) Под знаком корня четной степени должно находиться неотрицательное число, значит, задача сводится к решению неравенства
б)    Под знаком корня нечетной степени может находиться любое число, значит, здесь на х не накладывается никаких ограничений, т.е. D(f) = R.
в)    Выражение имеет смысл при условии а выражение   Значит, должны одновременно выполняться два неравенства: т.е. задача сводится к решению системы неравенств:

Решая неравенство
Решим неравенство Разложим левую часть неравенства на множители: Левая часть неравенства обращается в 0 в точках -4 и 4. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 178). Числовая прямая разбивается указанными точками на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х)=(4-х)(4 + х) сохраняет постоянный знак (знаки указаны на рис. 178). Промежуток, на котором выполняется неравенство р(х)>0, заштрихован на рис. 178. По условию задачи нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство р(х) = 0. Таких точек две: х =-4, х =4 — они отмечены на рис. 178 темными кружочками. Таким образом, на рис. 178 представлена геометрическая модель решения второго неравенства системы.

Отметим найденные решения первого и второго неравенств системы на одной координатной прямой, использовав для первого — верхнюю, а для второго — нижнюю штриховку (рис. 179). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Таким промежутком является отрезок [-1, 4].

Ответ. D(f) = [-1,4].

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.