KNOWLEDGE HYPERMARKET


Числовые последовательности

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Числовые последовательности


Числовые последовательности


1. Определение числовой последовательности.

Рассмотрим четыре функции:

Функции

Они заданы одной и той же формулой у = х2, но области определения функций различны. В первом случае D(f) = [0,1]. Во втором — D(f) = [0. +00). В третьем — область определения функции не указана. Согласно действующей в математике договоренности, подразумевается, что в этом случае D(f) совпадает с областью определения выражения, задающего функцию, т.е. с областью определения выражения х2:D(f) = (-оо, +оо). Наконец, в четвертом случае областью определения функции является множество N натуральных чисел: D(f) = N. Графики этих функций изображены на рис. 90—93.

Согласитесь, что первые три функции более привычны для вас, нежели четвертая. На протяжении трех лет изучения алгебры в школе мы рассматривали самые разные функции, но областью их определения практически всегда был какой-либо промежуток или объединение нескольких промежутков, а график функции состоял из одной или нескольких сплошных линий. А как обстоит дело с четвертой функцией? Ее область определения — множество натуральных чисел — состоит из отдельных точек (математики говорят — «из изолированных точек»); соответственно и график функции состоит из отдельных точек. Возникает вопрос, а нужно ли изучать функции, заданные на множестве натуральных чисел, встречаются ли они в реальной жизни; точнее, встречаются ли ситуации, математические модели которых представляют собой функции с областью определения N?

Графики функций
Вспомним задачу из учебника «Алгебра-7». На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе через день, 2 дня, 3 дня, 15 дней и т.д.? Если за х принять число дней, а за у — количество угля (в тоннах), то математической моделью ситуации будет линейная функция, заданная на множестве N натуральных чисел: у = 500 + 30x, х Є N.

Еще пример. На банковский счет положили а руб., банк ежемесячно начисляет р% . Сколько денег на счету станет через месяц, 2 месяца, 12 месяцев и т.д.? Оказывается, математической моделью этой ситуации служит функция у = а • 2кх, х Є N; здесь у — сумма вклада (в рублях), х — число полных месяцев, прошедших с момента открытия счета, а к — некоторый положительный коэффициент, связанный с банковским процентом р (обычно используют приближенную формулу к ~ 0,014р).

Ответ на поставленный вопрос мы получили: функции, заданные на множестве натуральных чисел (у = f(х), х є N), нужно изучать.

Математики подумали как-то: зачем писать у = f(х), х є N, не проще ли в таких случаях писать у = f(n), договорившись раз и навсегда подразумевать в этой записи, что аргумент n — натуральное число (n е N)? Так и сделали. В рассмотренных выше примерах:

вместо у — х2, х е N, можно записать у = n2;
вместо у = 500 + ЗОх, х е N, можно записать у = 500 + З0n;
вместо у — а • 2, х е N, можно записать у = а • 2кn.

И еще вот о чем договорились математики: вместо f(1) писать у1, вместо f(2) — у2, вместо f(З) — у3, вместо f(n) — уn и т.д. Значения функции у — f(n) можно записать последовательно одно за другим: f(1), f(2), f(З), ... , f(n), ... или, в соответствии с указанной выше договоренностью, ух, у2, у3, ..., уn.....Например, для функции у = n2 имеем:

У1 = 12 = 1;
У2 = 22 = 4;
у3 = 32 = 9;

у4 = 42 = 16 и т.д.

Полученные значения можно записать последовательно одно за другим: 1,4,9,16, ...,n2,....

Число 1 в этой записи находится на первом месте, 4 — на втором, 9 — на третьем, 16 — на четвертом, аn2 — на n-м месте.

Подчеркнем еще раз, что три математические модели:

Математические модели


различны по форме, но одинаковы по содержанию.

Определение 1.

Функцию вида у = f(х), х е N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f(n) или у1, у2, у3, ...,уn,....

Значения у1, у2, у3 (и т.д.) называют соответственно первым, вторым, третьим (и т.д.) членами последовательности. В символе уп число п называют индексом, который характеризует порядковый номер того или иного члена последовательности (в записи у1, у2, у3,..., уn,...). Иногда для обозначения последовательности используется запись (уn).

Многоточия в обозначении последовательности (имеется в виду запись у1, у2, у3, ..., уn, ...) означают, что правее у3 располагаются дальнейшие члены последовательности (у4, у5, у6 и т.д.), рядом с уn находятся (а в случае необходимости и записываются) уn (слева) и уn+1 (справа). Члену уn1 предшествует уn_2, а за уn+1 следует уn+1 и т.д.

Для обозначения членов последовательности могут использоваться различные буквы, например: хх, х2, х3, ..., хп,..., или а1, а2, а3, ..., ап, ..., или Ьг, Ь2, Ь3, ..., Ьn, ... и т.д.

Как известно, функция может быть задана различными способами, например аналитически, графически, словесно и т.д. (см. § 8). Последовательности тоже можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, словесный и рекуррентный.


2. Аналитическое задание числовой последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-то члена уn = f(n).

Пример 1.

уn = n2. Это — аналитическое задание последовательности 1, 4, 9,16,..., n2, ..., о которой шла речь выше.

Указав конкретное значение n, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если, например, n = 9, то Последовательности Напротив, если взят определенный член последовательности, можно указать его номер. Например, если уn = 625, то из уравнения n2 = 625 находим, что n = 25. Это значит, что 25-й член заданной последовательности равен 625.


Пример 2.

Пример

Таким образом, получаем последовательность

Последовательность
Заметим, что эту же последовательность можно было задать аналитически в виде кусочной функции у = f(n), где

Последовательность
Как и в предыдущем примере, нетрудно найти член последовательности с заданным номером. Например, Последовательность
Пример 3.

уn = С. Это значит, что речь идет о последовательности С, С, С,..., С.....которую называют стационарной.

Пример 4.

уn = 2". Это — аналитическое задание последовательности 2, 22, 23, 24,..., 2", ....

Как видите, зная формулу n-го члена последовательности, нетрудно найти ее первый, второй, третий члены и вообще любой член с указанным номером. Гораздо труднее, но зато и интереснее решать обратную задачу: угадывать формулу n-го члена последовательности, для которой указано несколько первых членов.

Пример 5.

1, 3, 5, 7, 9, ... .
Здесь уn = 2n - 1 (последовательность нечетных чисел).

Пример 6.

2, 4, 6, 8,10, ... .
Здесь уn = 2n (последовательность четных чисел).

Пример 7.

4, 8, 12,16, 20,... .
Здесь уn = 4n. Действительно,

Последовательности
Пример 8.

7, 11, 15, 19, 23, ... .

Каждый член этой последовательности на 3 больше соответствующего члена последовательности из предыдущего примера. Значит, уn — Аn + 3.

На рис. 94 изображен график последовательности уn = 4n + 3, т.е. график функции у ~ 4х + 3, х е N. Он состоит из точек прямой у = 4х + 3 с абсциссами дn=1,дn = 2, зс = 3и т.д.

График последовательности
 Пример 9.  

 Пример
Здесь Пример (проверьте!).
Пример 10. 1,2,4,8,16,32,64,.... Здесь уn = 2n-1.

3. Словесное задание последовательности. Суть этого способа задания последовательности поясним на примере. Известно, чтоAl91513.jpg С этим иррациональным числом можно связать две последовательности:
1)    последовательность десятичных приближений числа Al91514.jpg по недостатку 1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421,...;
2)    последовательность десятичных приближений числа Al91514.jpg по избытку 2, 1,5, 1,42, 1,415, 1,4143, 1,41422,....
В обоих случаях правило составления последовательности описано словами (не формулой).

Еще один пример — последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29,.... Последовательность задана словесно.


4. Рекуррентное задание последовательности.

Важный для приложений способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы все время возвращаемся назад, выясняем, чему равны предыдущие члены. Такой способ задания последовательности называют рекуррентным (от латинского слова гесиггеге — возвращаться). Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1—2 начальных члена последовательности. Приведем примеры.

Пример 11.

у1 = 3; уn = уn-х + 4, если n = 2, 3, 4.....Иными словами, n-й член последовательности получается из предыдущего, (п-1)-го, члена прибавлением к нему числа 4.

Имеем: 

   Пример
Тем самым получаем последовательность 3,7,11,15,....

Заметим, что полученную в примере 11 последовательность нетрудно задать аналитически: уn = 4n - 1 (проверьте!).

Пример 12.

уn = 3; уn = 2уп1, если n = 2, 3, 4, ... . Иными словами, n-й член последовательности получается из предыдущего, (га-1)-го, члена умножением его на 2.
Имеем:

   Пример
Тем самым получаем последовательность 3,6,12, 24, ... .

Заметим, что и здесь нетрудно перейти к аналитическому заданию последовательности: уn = 3 • 2n1 (проверьте!).

Пример 13.

Пример 

Иными словами, n-й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов.

Имеем: 

   Пример
Тем самым получаем последовательность  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .

Эту последовательность специально изучают в математике, поскольку она обладает целым рядом интересных свойств. Ее называют последовательностью Фибоначчи — по имени итальянского математика XIII века. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно — легко, а аналитически — трудно.

Среди рекуррентно заданных последовательностей особо выделяются два наиболее простых и в то же время важных случая.

Первый случай.

Указан первый член последовательности у1 = а и задано рекуррентное соотношение уn = уn1 + d, (а и d, — числа).

Второй случай.

Указан первый член последовательности у1 = b и задано рекуррентное соотношение уn = уn1 • q (b и q — числа).
В первом случае говорят, что задана арифметическая прогрессия (см. выше пример 11, здесь а = 3, д. = 4). Во втором случае говорят, что задана геометрическая прогрессия (см. выше пример 12, здесь b = 3, д = 2). Подробнее о прогрессиях речь пойдет ниже, в § 15 и 16.


5. Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций рассматривают и для последовательностей. Мы ограничимся здесь лишь свойством монотонности (о других свойствах числовых последовательностей речь пойдет в 10-м классе в курсе «Алгебра и начала анализа»).

Определение 2.

Последовательность (уn) называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

Последовательность
Определение 3.

Последовательность (уn) называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

Последовательность
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные послед ов ательности.

Пример 14.

1, 3, 5, 7, ..., 2n- 1, ... .
Это — возрастающая последовательность.

Пример 15.

Последовательность
Это — убывающая последовательность.
Пример 16. Последовательность
Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность).

Пример 17.

уn = 2n. Речь идет о последовательности 2, 4, 8,16, 32, стающая последовательность.

Пример 18.

Последовательность
Речь идет о последовательности ПоследовательностьЭто — убывающая последовательность.
Обобщением примеров 17 и 18 являются следующие утверждения:

1)    Если а > 1, то последовательность уn = аn возрастает.
2)    Если 0 < а < 1, то последовательность уn = аn убывает.


А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс


Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.