Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и графики

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и графики



§ 15. Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и графики


Отметим свойства функции у = tg х, причем в первую очередь те, которые помогут составить представление о графике функции (большинство из этих свойств фактически известно нам из § 5). Когда такое представление сложится, начнем строить график, как обычно, по точкам.

Свойство 1. Область определения функции у = tg х — множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида


Формула

График функций
Это свойство означает, что на графике функции нет точки, принадлежащей прямой Формула нет точки, принадлежащей прямой Формула  нет точки, принадлежащей прямой Формула  и т.д. Эти прямые проведены пунктиром на рис. 60.

Первое представление о графике получено: он состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между Формулы
Свойство 2. у = tg х— периодическая функция с основным периодом п.
Это следует из двойного равенства Формула полученного в § 5.
Значит, если мы построим ветвь графика в полосе от Формула  то затем нужно будет сдвинуть построенную ветвь по оси х вправо и влево на п, 2п, Зп и т.д. Тек самым получено второе представление о графике.

Свойство 3. у =tg  х—нечетная функция. Это следует из доказанного в § 5 соотношения Формула График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Значит, нам можно действовать так: построить по точкам часть графика на промежутке от Alga179.jpg а затем воспользоваться указанной симметрией.

Приступим к построению графика на полуинтервале Alga180.jpg, Выберем контрольные точки:

Таблица
Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них плавную кривую (рис. 61). Добавим линию, симметричную построенной кривой относительно начала координат (рис. 62). Воспользовавшись периодичностью, достроим график до конца (рис. 63).

График функции у = tg х называют тангенсоидой. Ту ее часть, которая изображена на рис. 62, обычно называют главной ветвью тангенсоиды.

Обратите внимание на то, что из начала координат главная ветвь тангенсоиды выходит как бы под углом 45°. Почему это так, вы узнаете из главы 4.


Графики
Свойство 4. Функция возрастает на интервале Alga183.jpg В более общем виде — функция возрастает на любом интервале вида Формула
Свойство 5. Функция у = tg хне ограничена ни сверху, ни снизу.

Свойство 6. У функции у = tg х нет ни наибольшего, ни наимень шего значения.
Свойство 7. Функция у = tg х непрерывна на интервале Alga183.jpg  В более общем виде — функция непрерывна на любом интервале вида Формула
При значениях Формула функция претерпевает разрыв. Каждая прямая вида Формула служит вертикальной асимптотои графика функции.


Свойство 8. Alga186.jpg

Замечание. Свойства 4—8, прочитанные по графику, можно доказать, опираясь на соответствующие математические утверждения, которые нам с вами пока не известны (поэтому мы и ограничиваемся наглядно-интуитивными представлениями). Впрочем, доказательство одного из свойств мы можем осуществить и сейчас.
Докажем, что функция у=tg х возрастает на полуинтервале Alga187.jpg. Возьмем два значения аргумента х1 и х2 из этого промежутка: х1 < х2. Тогда в силу возрастания функции    х на выбранном полуинтервале, будем иметь sin х1 < sin х2. В силу убывания функции у— соs х на выбранном полуинтервале будем иметь соs х1 > соs х2. Значит,

Функция
Итак, Alga189.jpg а это и означает возрастание функции у=tg х на выбранном промежутке.
Пример 1. Решить уравнение tg х = Alga190.jpg
Решение. Построим в одной системе координат графики функций у =tg х — тангенсоиду и у = Alga190.jpg — прямую, параллельную оси х. Они имеют бесконечно много точек пересечения (рис. 64), причем абсциссы этих точек отличаются друг от друга на пк. На главной ветви абсцисса соответствующей точки равна Alga191.jpg (мы воспользовались известным числовым равенством — Alga192.jpg это один корень уравнения, а все решения описываются формулой Alga193.jpg
Ответ: Alga193.jpg

График
Пример 2. Построить график функции Формула
Решение. Для начала разберемся с главной ветвью тангенсоиды.
1)    Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке    Alga196.jpg   проведена на рис. 65 пунктиром).
2)   "Привяжем" функцию у = tg хк новой системе координат — это будет график функции Формула , а точнее, главная ветвь искомого графика (рис. 65 — сплошная кривая).
3)    Чтобы получить график функции Формула достаточно построенную ветвь отобразить симметрично относительно оси х (рис. 66).
4)    Зная одну ветвь, можно построить весь график (рис. 67).   

График
На самом деле, на рис. 67 построен график функции у=сtgх. Почему? Потому, что имеет место тождество (формула приведения) Формула
График функции у=сtg х, как и график функции у =tg х, называют тангенсоидой. Главной ветвью графика функции у=сtg х обычно называют ветвь, заключенную в полосе от х=0 до х = к.
Пример 3. Решить уравнение сtg х = -1.

График


Решение. Построим в одной системе координат графики функций у = сtg х — тангенсоиду и у=-1 — прямую, параллельную оси х. Они имеют бесконечно много точек пересечения (рис. 68), причем абсциссы этих точек отличаются друг от друга на яп. На главной ветви абсцисса соответствующеи точки равна Alga1100.jpg (мы воспользовались известным соотношением: Alga1101.jpg  а все решения заданного уравнения можно охватить формулой Формула
Ответ: Формула

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс


Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.