Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Функция у = √х , ее свойства и график

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Функция у = √х , ее свойства и график


Функция у = √х , ее свойства и график


Для построения графика функции Формула дадим, как обычно, независимой переменной х несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при х < 0 выражение 12-06-53.jpg не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у. Разумеется, мы будем давать х такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня. Итак:

Функция у = √х , ее свойства и график

Итак, мы составили таблицу значений функции:

x
0
1
4
6,25 9
y
0
1
2
2,5 3


Построим найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (0;3) на координатной плоскости (рис. 78). Они располагаются некоторой линии, начертим ее (рис. 79). Получили график функции Формула. Обратите внимание: график касается оси у в точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы у = х2, можно без труда с его помощью построить график функции Формула , ведь это — ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.

Графики

Свойства функции Формула
Описывая свойства этой функции, мы, как обычно, будем опираться на ее геометрическую модель — ветвь параболы (рис. 79).

1. Область определения функции — луч [0, +оо).
2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0.
3. Функция возрастает на луче [0, + оо).
4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
5. унаим. = 0 (достигается при х = 0), унаи6 не существует.
6. Функция непрерывна на луче [0, +оо).

Комментариев требует лишь свойство 4. Почему мы считаем, что функция не ограничена сверху? Возьмем, например, число 10. Найдется ли такое значение х, для которого будет выполнено неравенство 12-06-53.jpg > 10? Конечно, достаточно взять х = 121, ведь 12-06-56.jpg = 11, а 11 > 10. Возьмем число 40. Найдется ли такое значение х, для которого будет выполняться неравенство 12-06-53.jpg > 40? Конечно, достаточно взять х = 2500, ведь 12-06-57.jpg = 50, а 50 > 40. И вообще, какое бы положительное число т ни взять, всегда найдется такое х, что будет выполняться неравенство 12-06-53.jpg > m (достаточно взять х = (m + 1)2; подумайте, почему это так).

А теперь обратим внимание на одно любопытное обстоятельство. Рассмотрим две функции: у = 12-06-53.jpg (ее график изображен на рис. 79) и у = х2, где х> 0 (ее график изображен на рис. 80). Мы только что перечислили шесть свойств для первой функции, но абсолютно теми же свойствами обладает и вторая функция. Словесные «портреты» двух различных функций одинаковы. Математики не смогли вынести такой несправедливости, когда разные функции, имеющие разные графики, словесно описываются одинаково. Они обнаружили принципиальные различия в характере графиков, заметив, что график функции Формула обращен выпуклостью вверх, тогда как
график функции у = х2, где х > 0, обращен выпуклостью вниз.

Графики

Обычно говорят, что функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 81); функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 82).

Свойство выпуклости будем в дальнейшем включать в процедуру чтения графика.

Функция у = f (х)у где f (х) =12-06-53.jpg , принимает любые неотрицательные значения. В самом деле, какое бы конкретное значение у > 0 ни задать, всегда найдется такое х, что выполняется равенство f (х) = у, т.е. 12-06-53.jpg = у; для этого достаточно положить х = у2. Множество всех значений функции называют обычно областью  значений функции. Для функции у =12-06-53.jpg областью значения значений является луч [0, + оо). Это, кстати, хорошо  читается по графику функции (рис. 79). Если спроецировать график на ось у, как раз и получится луч [0, + оо ).

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = 12-06-53.jpg на отрезке:
а) [0, 4]; б) [1, 5].

Решение, а) Построим график функции у = 12-06-53.jpg и выделим его часть на отрезке [0, 4] (рис. 83). Замечаем, что Унаим. = 0 (достигается при х = 0), а унаи6 = 2 (достигается при х = 4).

б) Построим график функции у = 12-06-53.jpg и выделим его часть на отрезке [1, 5] (рис. 84). Замечаем, что унаим = 1 (достигается при х = 1), а унаиб = 12-06-22.jpg (достигается при х = 5).
О т в е т: а) унаим. = 0; унаиб = 2; б) унаим. = 1; ушиб = 12-06-22.jpg

Графики


Графики
Пример 2. Решить уравнение 12-06-53.jpg = 6 - х.
Решение.

1) Рассмотрим две функции у = 6 - x и y = 12-06-53.jpg
2) Построим график функции у = 12-06-53.jpg (рис. 85).
3) Построим график линейной функции у = 6 - х.
Это — прямая, которую можно построить по двум точкам (0; 6) и (6; 0). Прямая изображена на том же чертеже (рис. 85).
4) По чертежу устанавливаем, что графики пересекаются в одной точке А (4; 2). Так ли это на самом деле? Проверим: пара (4; 2) удовлетворяет и уравнению у = 12-06-53.jpg и уравнению у = 6 - х.
Это значит, что точка (4; 2) на самом деле служит точкой пересечения построенных графиков. Заданное уравнение имеет один корень 4 — это абсцисса точки А.
Ответ: 4.
Пример 3. Построить график функции Формула
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) (пунктирные прямые х = 1 и у = - 2 на рис. 86).

Графики
2) Привяжем функцию у = 12-06-53.jpg к новой системе координат.
Для этого выберем контрольные точки для функции у = 12-06-53.jpg. , например (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 86). Построим ветвь параболы, проходящую через выбранные точки, — это и есть требуемый график (рис. 87).

Пример 4. Построить и прочитать график функции y = - 12-06-53.jpg
Решение. Выше, в § 8, мы заметили, что график функции у = - f (х) получается из графика функции у = f (x) с помощью преобразования симметрии относительно оси х.
Воспользовавшись этим, построим график функции у = 12-06-53.jpg и отобразим его симметрично относительно оси х (рис. 88). Это и будет график функции у = - 12-06-53.jpg .

Перечислим свойства функции у = - 12-06-53.jpg (по графику):
1. Область определения функции — луч [0, + оо).
2. у = 0 при х = 0; у < 0 при х > 0.

Формула

3. Функция убывает на луче [0, + оо).
4. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.
5 Унаиб. = 0 (достигается при х = 0), унаим не существует.
6. Функция непрерывна на луче [0, + од).
7. Область значений функции — луч (- оо, 0].
8. Функция выпукла вниз.

Пример 5. Построить и прочитать график функции  y =f(x), где

Формула

Решение. Сначала построим график функции у = 12-06-53.jpg и выделим его часть на отрезке [0, 4] (рис. 89). Затем построим гиперболу Формула и выделим ее часть на открытом луче (4, + оо) (рис. 90). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и есть график функции у = f(x) (рис. 91).
Перечислим свойства функции у — f(x), т.е. прочитаем график.

Графики

1. Область определения функции — луч [0, + °о).
2. у = 0 при x = 0; у > 0 при х > 0.
3. Функция возрастает на отрезке [0, 4] и убывает на луче [4, + оо).
4. Функция ограничена и снизу и сверху.
5 Унаим. = 0 (достигается при х = 0); унаи6 = 2 (достигается при х = 4).
6. Функция непрерывна в заданной области определения.
7. Область значений функции — отрезок [0, 2].
8. Функция выпукла вверх на отрезке [0, 4] и выпукла вниз на луче [4, + оо).

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Рефераты, домашняя работа по математике скачать, учебники скатать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.