KNOWLEDGE HYPERMARKET


Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов



               Разложение многочлена на множители

                                      с помощью 

                   комбинаций различных приёмов

В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой! и т. д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать к план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт.  Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим в данном параграфе.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

36a6b3 - 96а4b4 + 64а2b5.

Решение.

1) Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это — наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная а (соответственно а6, а4, а2), поэтому за скобки можно вынести а2.

Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b3, b4, b5) — за скобки можно вынести b3.

Итак, за скобки вынесем 4а2b3. Тогда получим:

36a6b6 - 96a4b4 + 64a2b5 = 4a2b3(9a4 - 24a2b + 16b2).

2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4 - 24a2b + 16b2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:
4 - 24а2Ь + 16b2 = (За2)2 + (4b)2 - 2 • За2 • 4b.

Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,
9a4 - 24a2b + 16b2 = (За2 - 4b)2.

3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:

36a6b3 - 96a4b4 + 64a2b5 = 4a2b3(3a2 - 4b)2.

Пример 2. Разложить на множители: а2- с2 + b2 + 2ab.

Решение. 1) Сначала попробуем воспользоваться способом группировки. До сих пор четыре слагаемых мы разбивали на группы по парам (см. § 21). Здесь это не проходит.

Действительно,

а22 + Ь2 + 2аЬ = (а2 - с2) + (b2 + 2ab) =  (а-с)(а + с) + b(b + 2а).

Эта группировка неудачна, нет общего множителя. Попробуем по-другому:

а22 + b2 + 2аb - (а2 + b2) + (- с2 + 2ab) — здесь также ничего хорошего нет.

Третья попытка:
а22 + b2+ 2аb = (a2 + 2ab) + (-с2 + b2) =  а (а + 2b) + (b - с) (b + с)
— и здесь нет общего множителя.

Однако все-таки способ группировки в этом к примере сработает. Ведь ниоткуда не следует, что группировать слагаемые можно только по парам, это можно сделать и так:

 а22 + Ь2 + 2аЬ = (a2 + 2ab + Ь2) -с2 = (а + b)2 - с2.

Теперь вы отчетливо видите структуру данного многочлена: разность квадратов.

2) К полученному выражению применим формулу разности квадратов:
(a+ b)2 - c2 =((a + b )- c) (a + b )+ c =(a + b - c ) (a + b + c)

Итак, комбинируя два приема (группировку и использование формул сокращенного умножения — квадрат суммы и разность квадратов), мы получили окончательный результат:

a2 - с2 + b2 + 2аb = (а + b - с) (a + b + с).

Пример 3. Разложить на множители: x4 + 4у4.

Решение. Проанализируем структуру данного двучлена. Что такое x4? Это (x2)2. Что такое 4у4? Это (2у2)2. Значит, имеем сумму квадратов (x2)2 + (2у2)2. Обычно, увидев сумму квадратов двух выражений (чисел, одночленов, многочленов), математик ищет удвоенное произведение этих выражений для того, чтобы получить полный квадрат. В данном случае таким удвоенным произведением будет 2 • x2 • 2у2, т.е. 4х2у2. Но его в примере нет.
Что же делать?

Прибавим к заданному многочлену то, что нам нужно, но, чтобы ничего не изменилось, тут же и вычтем:

(x2)2 + (2у2)2 + 4x2у2 - 4х2у2.

Это дает возможность сгруппировать первые три члена так, что выделится полный квадрат. Дальнейшее решение идет по плану примера 2.

Приведем полное решение примера, уже без комментариев:

х4 + 4у4 = (х2)2 + (2у2)2 = ((х2)2+(2у2)2 + 4х2у2) - 4х2у2 =
= (х2 + 2у2)2 - (2ху)2 = (х2 + 2у2 - 2ху) (х2 + 2у2 + 2ху).

 В этом примере мы впервые применили метод к выделения полного квадрата. Он будет полезен нам и в дальнейшем, в частности, при решении следующего примера.

Пример 4. Разложить на множители:

 х4 + х2а2 + а4,

 Решение. Применим метод выделения полного квадрата Для этого представим х а в виде
2a2 - х2а2.

Получим:

x4 + x2a2 + a4 = x4 + 2x2a2 - x2a2 + a4 = (x4 + 2x2a+ a4) - x2a2 =

=  (x2 + a2)2 - (xa)2 = (x2 + a2 - xa)(x2 + a2 + xa)


А теперь вернитесь, пожалуйста, к замечанию, которое было сделано в § 22 (см. пример 2). Как видите, мы выполнили данное там обещание.

Пример 5. Разложить на множители:n3 + Зn2 + 2n.

Решение. Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n (n2 + Зn + 2).

Теперь к трехчлену n2 + Зn + 2 применим способ группировки, предварительно представив Зn в виде 2n + n. Получим:

n2 + Зn + 2 = n2 + 2n + n + 2 = (n2 + 2n) + (n + 2) =
=n (n + 2) + (n + 2) - (n + 2) (n + 1).


Окончательно получаем:

n3 + Зn2 + 2n =n(n+1)(n + 2).

Этим разложением мы уже воспользовались в § 19. Правда, там это было сделано без обоснований, зато теперь все стало на свои места.

Пример 6. Вычислить 38,82 + 83 • 15,4 - 44,22.

Решение. Последовательно применим группировку, формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки. Эта совокупность алгебраических приемов позволит провести арифметические вычисления легко и изящно:

38,82 + 83 •15,4 - 44,22 = 83 • 15,4 -( 44,22 - 38,82) =

= 83 • 15,4 - ( 44,2 - 38,8) ( 44,2 + 38,8) = 83 • 15,4 - 5,4 • 83 =

= 83(15,4 - 5,4) = 83 •  10 = 830.


Заканчивая этот параграф, вернемся к тому, с чего мы начинали главу 5. В § 19 мы говорили о том, что разложение на множители — один из методов решения уравнений. В следующем примере мы и воспользуемся этим методом.

Предварительно отметим следующее. В математике и смежных науках часто встречаются уравнения вида ax2 + Ьx + с = 0, где а,b,с — не переменные, а числа. Например, 2x2 - Зx + 2 = 0, x2 + 4x - 8,5 = 0 и т. д. Такие уравнения называют квадратными, мы специально займемся их изучением в 8 классе. Впрочем, некоторые квадратные уравнения можно и теперь решить. Одно квадратное уравнение мы уже решили выше в § 21 (см. пример 5), сейчас решим еще одно, причем даже двумя способами (правда, обычно делают не так, а пользуются готовыми формулами для решения квадратных уравнений, но вы их пока не знаете).

Пример 7. Решить уравнение x2 - 6x + 5 = 0.

Решение.

Первый способ. Представим -x в виде суммы - x - 5x, а затем применим способ группировки:
x2 - 6x + 5 = x2 - x - 5x + 5 = (x2 - х) + (- 5х + 5) = x( x - 1) - 5( x -1) =( x -1)( x - 5)
заданное уравнение примет вид:
(x-1)(x-5) = 0,
откуда находим, что либо х = 1, либо х = 5.

Второй способ. Применим метод выделения полного квадрата, для чего представим слагаемое 5 в виде 9-4. Получим:
х2 - 6х + 5 = х2 - 6х + 9 - 4 =(x -3 )2 -22 = (х -3 - 2)(x - 3 + 2) = ( x - 1)(x - 5) = 0
Снова пришли к уравнению (х - 1) (х - 5) = 0, имеющему корни 1 и 5.

О т в е т: 1, 5.




Видеопо математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам онлайн


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.