Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения

                    Разложение многочлена на множители

                                          с помощью

                     формул сокращённого умножения

В § 17 мы получили пять формул сокращенного умножения. Там же мы отметили, что любой из этих формул можно пользоваться как для сокращенного умножения многочлена на многочлен (если применять формулы в том виде, в котором они были записаны в § 17), так и для разложения многочлена на множители, если их переписать следующим образом:

Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего — чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью — к выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов; последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат, т. е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений.

Пример 1. Разложить на множители:

а) 64х² - 9;            в) (2х - I)² - 25;
б) х⁶-4а⁴;              г)(a + 3)²-(b-2⁾².

Решение. Во всех четырех примерах воспользуемся формулой (1) (разность квадратов):

а) 64х² - 9 = (8х)² - З² = (8x - 3) (8x + 3);

б) х6 - 4a⁴ = (х³)² - (2а)² = (х³ - 2а²) (х³ + 2а²);

в) (2х - I)² - 25 = (2х - I)² - 5² = ((2х - 1) - 5) (2х - 1) + 5) =
=(2х - 6) (2х + 4) = 2 (х - 3) • 2 (х + 2) - 4 (х - 3) (х + 2).

Здесь, кроме формулы разности квадратов, мы использовали прием вынесения общего множителя за скобки — для двучленов 2х - 6 и 2х + 4.

г) (а + З)² - (b - 2)² = ((а + 3) - (b - 2)) ((а + 3) + (b - 2)) =
= (а + 3 - b + 2) (а + 3 + b - 2) = (а - b + 5) (а + b + 1).

Пример 2. Разложить на множители:

a)I25а³-8Ь³;                 б)а⁶ + 27b³;                 в)х⁶-а⁶.

Решение. Здесь воспользуемся формулами (2) и (3) (разность и сумма кубов).

а) 125а³ - 8b³ = (5а)³ - (2b)³ = (5а - 2b) ((5а)³ + 5а • 2b + (2b)²) =
=(5а - 2b)(25а² + 10аЬ + 4Ь²).

б) а⁶ + 27b⁸ = (а²)⁸ + (Зb)³ = (а² + Зb) ((а²)² - а²•Зb + (Зb)²) =
= (а² + ЗЬ) (а⁴ - За²Ь + 9Ь⁴).

в) Первый способ:
х⁶ - а⁶ = (х²)⁸ - (а²)³ = (х² - а²) ((х²)² + х² • а² + (а2)²)=
= (х - а) (х + а) (х⁴ + х²а² + а⁴).

Второй способ:
х⁶ - а⁶ = (х³)² - (а³)² = (х³ - а³) (х³ + а³) =
= (х - а) (х² + ха + а²) (х + а) (х² - ха + а²).

Замечание. В примере 2в) при одном способе решения получилось разложение:
(x-a)(x + a)(x⁴ + x² + a⁴), а при другом способе — разложение:

Разумеется, это одно и то же: в следующем параграфе мы покажем, как от многочлена х⁴ + х²а² + а4 перейти к произведению (х² + ха + а²) (х² - ха + а²).
Впрочем, и сейчас вы можете убедиться, что х⁴ + x²a²+ а⁴ = (х² + ха + а²) (х² - ха + а²).

Для этого достаточно раскрыть скобки в правой части равенства (сделайте это).

Пример 3. Разложить на множители:

а) а² - 4аЬ + 4Ь²;                           в)х⁴- 12х²у + 9у²;
б)х⁴ + 2х²+1;                                 г) 25а² + 10аЬ + 4Ь².

Решение. В этих примерах даны трехчлены, для их разложения на множители будем пользоваться формулами (4) и (5), если, конечно, убедимся в том, что трехчлен является полным квадратом:

а) а² - 4аЬ + 4Ь² = а² + (2b)² - 2 • а • 2b - (а - 2Ь)².

Мы убедились, что трехчлен содержит сумму квадратов одночленов а и 2b, а также удвоенное произведение этих одночленов.

Значит, это полный квадрат, причем квадрат разности.

б) х4 + 2х² + 1 = (х²)² + I² + 2 • х² • 1 = (х² + I)²;

в) 4х⁴ - 12х²у + 9y² = (2x²)² + (Зу)² - 2 • 2х² • Зу=(2x² - 3y)²

г) 25а² + 10аЬ + 4Ь² = (5а)² + (2Ь)² + 5а • 2Ь.

Так как 10аb — это не удвоенное произведение одночленов 5а и 2b, то данный трехчлен не является полным квадратом. Разложить его на множители с помощью формул (4) или (5) мы не можем.Вообще, если хотите воспользоваться формулами (4) или (5), то будьте внимательны и убедитесь, что заданный трехчлен есть полный квадрат. В противном случае формулы (4) и (5) применять нельзя — именно так обстояло дело в примере Зг.

_{Видеопо математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам онлайн}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.