Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Предел функции

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Предел функции


§ 31. Предел функции


1. Предел функции на бесконечности


В § 30 мы получили следующий результат: равенство Предел функции означает, что прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f (n) (рис. 105). Напомним, что аргумент п принимает только натуральные значения.
Пусть теперь дана функция у =f(n), в области определения которой содержится луч Предел функции и пусть прямая у = Ь является горизонтальной асимптотой графика (рис. 106) функции у =f(x). Естественно, что математики в этом случае по аналогии с приведенным выше равенством (1) решили использовать запись:

График
(читают: предел функции у = f(х) при стремлении х к плюс бесконечности равен b).
Если же дана функция у = f (х), в области определения которой содержится луч aLga666.jpg и прямая у = Ь является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х) (рис. 107), то в этом случае используют запись:

График
 (читают: предел функции у =f(х) при стремлении х к минус бесконечности равен b).
Если одновременно выполняются два соотношения:

Задание
то можно объединить их одним соотношением: Задание Но условились использовать более экономную запись:

Задание
(читают: предел функции у = f(х) при стремлении х к бесконечности равен Ь).

График
В этом случае прямая у = Ь является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х) как бы с двух сторон (рис. 108).
Вычисление предела функции на бесконечности осуществляется по тем же правилам, что и вычисление предела последовательности. Приведем их (с соответствующими изменениями).
1) Для любого натурального показателя m и любого коэффициента к справедливо соотношение:

Формула
2) Если Задание, то
а)    предел суммы равен сумме пределов:
Задание
б)    предел произведения равен произведению пределов:
Задание
в)    Предел частного равен частному от деления пределов (разумеется, при условии, что Задание
г)    постоянный множитель можно вынести за знак предела:
Задание
Пример 1. Вычислить Задание
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на х2:

Задание
Осталось воспользоваться правилом «предел частного». Поскольку предел числителя равен 2 + 0 = 2, а предел знаменателя равен 1 -0 = 1, то 2
предел дроби равен

Задание
Замечание. Сравните только что решенный пример с примером 6 из § 30: все то же самое — та же идея, те же рассуждения. Отличие только одно: там переменная п принимала лишь натуральные значения, а здесь переменная х принимает любые действительные значения (кроме, разумеется, значений -2 и 2, которые обращают в нуль знаменатель дроби, содержащейся под знаком предела).
2. Предел функции в точке
Рассмотрим функции, графики которых изображены на рис. 109—111. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее это три разные функции, они отличаются друг

Графики
от друга своим поведением в точке х =а. Для функции у = f(х), график которой изображен на рис. 109, значение f(а) не существует, функция в указанной точке не определена. Для функции у = f (х), график которой изображен на рис. 110, значение f (а) существует, но оно «неудачное», оно отлично, от, казалось бы, естественного значения Ъ. Наконец, для функции у = f(х), график которой изображен на рис. 111, значение f(а) существует, и оно «удачное». Если же точку х=а исключить из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.
Для всех трех случаев используется одна и та же запись:

Формула
(читаем: «предел функции у =f( х ) при стремлении х к а равен b» ).
Содержательный смысл приведенной выше записи заключается в следующем: если значения аргумента выбираются все ближе и ближе к значению х =а, то значения функции все меньше и меньше отличаются от предельного значения Ъ. Можно сказать и так: в достаточно малой окрестности точки а справедливо приближенное равенство:
f(x)=b (причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньшая окрестность выбирается). При этом, подчеркнем еще раз, сама точка х =а исключается из рассмотрения.
А теперь ответьте на вопрос: какую из рассмотренных трех функций естественно считать непрерывной в точке х=а? Ответ очевиден: непрерывной естественно считать третью функцию, которая удовлетворяет условию Формула
В каких случаях мы с вами до сих пор использовали понятие «непрерывная функция» ? Мы говорили, что функция непрерывна, если видели, что ее график представляет собой сплошную линию, т.е. не имеет «проколов» и «скачков». На самом деле график функции изображают в виде сплошной линии (без «проколов» и «скачков») только тогда, когда установлена непрерывность функции. При этом функцию у = f(х) называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение:

Формула
Иными словами, функцию у = f(х) называют непрерывной в точке х=а, если предел функции у = f(х) при стремлении х к а равен значению функции в точке х=а.
Функцию у = f(х) называют непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
В курсе алгебры 7—9-го классов мы отмечали, что функции: Задание — натуральное число, — непрерывны на всей числовой прямой. Отмечали также, что функция Задание но претерпевает разрыв в точке х =0. В главе 1, говоря о тригонометрических функциях, мы отмечали непрерывность функций у = sin х и у=соs х на всей числовой прямой, а также непрерывность функций у = х, у=х в каждом промежутке из области их определения. До сих пор мы опирались на наглядные представления и интуицию. Математики доказали, опираясь на определение непрерывности, что все упомянутые утверждения верны. Так что теперь мы будем ими пользоваться на законных основаниях.
Между прочим, математики доказали более сильное утверждение:
Если выражение f(х) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция у = f(х) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (х).
Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций.
Пример 2. Вычислить: Задание
Решение. Выражение Задание определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция Задание непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.
Имеем: Задание
Ответ: 7.
Пример 3. Вычислить: Задание
Решение. Выражение Задание, в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f(х)непрерывна в точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению
функции в точке х = 2. Имеем:

Задание
Ответ: 0.
Вы заметили, наверное, что в рассмотренных примерах вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.
Пример 4. Вычислить

Задание
Решение. Если подставить значение х = -3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на 0 делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить:

Задание
Значит, функции

Задание
Но (внимание!) при вычислении предела функции при х —» -3 саму точку х = -3 можно исключить из рассмотрения, мы об этом говорили  выше. Значит,

Задание
Ответ: -1,5.
Вернемся снова к названию раздела математики, который мы начали изучать, — математический анализ. В начале главы 4 мы отметили: анализируют в этом разделе математики то, как ведет себя функция около, конкретной точки. Теперь мы можем сказать точнее: в окрестности конкретной точки. Именно этим мы и занимались, делая выводы о функциях, графики которых изображены на рис. 109—111. Проведенный краткий анализ привел нас к понятию предела функции в точке и к понятию непрерывности функции в точке.
Важное замечание. Теория пределов — достаточно сложный раздел математического анализа, который изучается в вузах. Наше знакомство с понятием предела, как вы, наверное, заметили, поверхностное, основанное на интуиции и наглядных представлениях. Продолжая это «шапочное» знакомство, получим один очень существенный для высшей математики результат. При этом опять будем использовать не строгие рассуждения (нам пока это не по силам), а рассуждения, основанные на интуиции, наглядности, правдоподобии. Такие рассуждения математики часто называют рассуждениями «на пальцах».
Возьмем числовую окружность, выберем достаточно малое положительное значение t, отметим на окружности точку М(?) и ее ординату, т.е. sin t — это длина дуги АМ, sin t — это длина
перпендикуляра МР (рис. 112). Для достаточно малых значений t выполняется приближенное равенство АМ-МР, т.е. sin t=t, и, следовательно,

Задание 

Естественно предположить, что

Формула
В курсе математического анализа доказано, что это утверждение верно.
3. Приращение аргумента. Приращение функции
Изучая поведение функции у = f(х) около конкретной точки х0, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используются понятия приращений аргумента и функции.
Определение 1. Пусть функция у =f(х) определена в точках х0 и х1 Разность х, -х0 называют приращением аргумента (при переходе от точки х0 кх,), а разность f(х,)-f(х0) называют приращением функции.
Приращение аргумента обозначают Alga72.jpg (читают: «дельта икс»; А — прописная буква греческого алфавита «дельта», а соответствующая строчная буква пишется так: Alga73.jpg Приращение функции обозначают Задание

Задание

Пример 5. Найти приращение функции у = х1 при переходе от точки х0 =1 к точкам: а) х = 1,1; б) х = 0,98. Задание

Обратите внимание на полученный в примере 5 ответ: приращение функции (как, впрочем, и приращение аргумента) может быть и положительным, и отрицательным числом, так что не истолковывайте термин «приращение» как «прирост».
А теперь посмотрим на определение непрерывной функции с точки зрения приращений аргумента и функции. Определение непрерывности функции в точке х =а выглядит так:

Задание

Получаем новое истолкование понятия непрерывности функции в точке.
Функция у = f(х) непрерывна в точке х =а, если в точке х =а выполняется следующее условие:
Задание
Пример 6. Для функции у = кх + m найти:
а)    приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точке х + f(х;
б)    предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Решение, а)Имеем:

Задание

Итак, для заданной линейной функции у =кх + m. получили: Alga710.jpg

б) Нужно вычислить

Задание

Итак, для заданной линейной функции у=кх + m получили:

Формула

На рис. 113 изображен график линейной функции у = kх+m, выделена фиксированная точка графика М(х, f(х)), отмечены приращения аргумента и функции при переходе от точки х к точке Alga713.jpg Чер-
теж подсказывает, что Alga714.jpg тангенс угла между прямой у = кх + m и положительным направлением оси х, а это — угловой коэффициент прямой. Значит, Alga715.jpg что фактически и получено при
решении примера 6, но с помощью формальных преобразований.

График
Пример 7. Для функции у = х2 найти:
а)    приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точке Alga717.jpg
б)    предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Решение. а) Имеем:

Задание
б) Нужно вычислить Задание
Имеем: Задание
При вычислении последнего предела мы учли, что х — фиксированная точка, т.е. постоянное число, а Задание
Итак, для заданной функции у = х2 получили: Формула


А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс


Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.