Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Уравнение касательной к графику функции

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Уравнение касательной к графику функции


§ 34. Уравнение касательной к графику функции


В § 32 говорилось о том, что если точка М (а; f(а)) принадлежит графику функции у = f(х) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен f'(а). Мы этим уже несколько раз пользовались. Например, в § 33 было установлено, что график функции у = sin х(синусоида) в начале координат образует с осью абсцисс угол 45° (точнее, касательная к графику в начале координат составляет с положительным направлением оси х угол 45°), а в примере 5 § 33 были найдены точки на графике заданной функции, в которых касательная параллельна оси абсцисс. В примере 2 § 33 было составлено уравнение касательной к графику функции у = х2 в точке х = 1 (точнее, в точке (1; 1), но чаще указывают только значение абсциссы, полагая, что если значение абсциссы известно, то значение ординаты можно найти из уравнения у = f(х)). В этом параграфе мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной.к графику любой функции.

Пусть даны функция у = f(х) и точка М (а; f(а)), а также известно, что существует f'(а). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид у = кх+m, поэтому задача состоит в отыскании значений коэффициентов к и m.

С угловым коэффициентом к проблем нет: мы знаем, что к = f'(а). Для вычисления значения т воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f (а)). Это значит, что, если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: f(а) = ка+m, откуда находим, что m = f(а) - ка.
Осталось подставить найденные значения коэффициентов кит в уравнение прямой:

Задание
Нами получено уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке х=а.
Если, скажем, Задание
Подставив в уравнение (1) найденные значения а = 1, f(а) = 1 f'(а) = 2, получим: у = 1+2(х-f), т.е. у = 2х-1.
Сравните этот результат с тем, что был получен в примере 2 из § 33. Естественно, получилось то же самое.
Составим уравнение касательной к графику функции у = tg х в начале координат. Имеем: Задание значит, соs х f'(0) = 1. Подставив в уравнение (1) найденные значения а= 0, f(а)= 0, f'(а) = 1, получим: у=х.
Именно поэтому мы и провели тангенсоиду в § 15 (см. рис. 62) через начало координат под углом 45° к оси абсцисс.
Решая эти достаточно простые примеры, мы фактически пользовались определенным алгоритмом, который заложен в формуле (1). Сделаем этот алгоритм явным.


АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ  К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у = f(x)

1)    Обозначить абсциссу точки касания буквой а.
2)    Вычислить 1 (а).
3)    Найти f'(х) и вычислить f'(а).
4)    Подставить найденные числа а, f(а), (а) в формулу (1).

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции A104.jpg в точке х = 1.
Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере

Решение

На рис. 126 изображена гипербола A106.jpg, построена прямая у= 2-х.
Чертеж подтверждает приведенные выкладки: действительно, прямая у = 2-х касается гиперболы в точке(1; 1).

Ответ: у =2- х.
Пример 2. К графику функции A107.jpg провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у =4х - 5.
Решение. Уточним формулировку задачи. Требование «провести касательную» обычно означает «составить уравнение касательной». Это логично, ибо если человек смог составить уравнение касательной, то вряд ли он будет испытывать затруднения с построением на координатной плоскости прямой по ее уравнению.
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере A108.jpg Но в отличие от предыдущего примера здесь имеется неясность: не указана явно абсцисса точки касания.
Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = 4х-5. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: Aa109.jpg  Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения f'(а)= 4.
Имеем: Задание
Из уравнения Задание Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.
Теперь можно действовать по алгоритму.

Задание
Пример 3. Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции A1013.jpg
Решение. Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере A1014.jpg Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее действуем по алгоритму.

Задание
По условию касательная проходит через точку (0; 1). Подставив в уравнение (2) значения х = 0, у = 1, получим: Задание
Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение а =4 в уравнение (2), получим:

Задание
На рис. 127 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции

Задание

В § 32 мы отметили, что для функции у = f(х), имеющей производную в фиксированной точке х, справедливо приближенное равенство:

Задание
Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения: вместо х будем писать а, вместо A1020.jpg будем писать х и соответственно вместо A1021.jpg будем писать х-а. Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:

Задание
А теперь взгляните на рис. 128. К графику функции у = f(х) проведена касательная в точке М (а; f (а)). Отмечена точка х на оси абсцисс близко от а. Ясно, что f(х) — ордината графика функции в указанной точке х. А что такое f(а) + f'(а) (х-а)? Это ордината касательной, соответствующая той же точке х — см. формулу (1). В чем же смысл приближенного равенства (3)? В том, что для вычисления приближенного значения функции берут значение ординаты касательной.

График
Пример 4. Найти приближенное значение числового выражения 1,027.
Решение. Речь идет об отыскании значения функции у = х7 в точке х = 1,02. Воспользуемся формулой (3), учтя, что в данном примере Задание
В итоге получаем:
Задание
Если мы воспользуемся калькулятором, то получим: 1,027 = 1,148685667...
Как видите, точность приближения вполне приемлема.
Ответ: 1,027 =1,14.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс




Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.