Личные инструменты

2168
з математики

132
учня

168
для 11 класу

443
відкореговано


Вашій увазі

24638
уроків


Функция у = k/x, ее свойства и график

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Функция у = k/x, ее свойства и график


Функция у = k/x, ее свойства и график

В этом параграфе мы познакомимся с новой функцией — функцией Функция Коэффициент k может принимать любые значения, кроме k = 0. Рассмотрим сначала случай, когда k = 1; таким образом, сначала речь пойдет о функции Функция.

Чтобы построить график функции Функция, поступим так же, как и в предыдущем параграфе: дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим (по формулe Функция) соответствующие значения зависимой переменной у. Правда, на этот раз удобнее проводить вычисления и построения постепенно, сначала придавая аргументу только положительные значения, а затем — только отрицательные.

Первый этап. Если х = 1, то у = 1 (напомним, что мы пользуемся формулой Функция );

Задание

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

Функция

Второй этап.

Функция

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

Функция


А теперь объединим два этапа в один, т. е. из двух рисунков 24 и 26 сделаем один (рис. 27). Это и есть график функции Функция  его называют гиперболой.
Попробуем по чертежу описать геометрические свойства гиперболы.

Во-первых, замечаем, что эта линия выглядит так же красиво, как парабола, поскольку обладает симметрией. Любая прямая, проходящая через начало координат О и расположенная в первом и третьем координатных углах, пересекает гиперболу в двух точках, которые лежат на этой прямой по разные стороны от точки О, но на равных расстояниях от нее (рис. 28). Это присуще, в частности, точкам (1; 1) и (- 1; - 1),

Функция и т. д.Значит - О центр симметрии гиперболы. Говорят также, что гипербола симметрична относительно начала координат.

Во-вторых, видим, что гипербола состоит из двух симметричных относительно начала координат частей; их обычно называют ветвями гиперболы.

Графики

В-третьих, замечаем, что каждая ветвь гиперболы в одном направлении подходит все ближе и ближе к оси абсцисс, а в другом направлении — к оси ординат. В подобных случаях соответствующие прямые называют асимптотами.

Значит, график функции Функция, т.е. гипербола, имеет две асимптоты: ось х и ось у.

Если внимательно проанализировать построенный график, то можно обнаружить еще одно геометрическое свойство, не такое очевидное, как три предыдущих (математики обычно говорят так: «более тонкое свойство»). У гиперболы имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии.

В самом деле, построим прямую у = х (рис. 29). А теперь смотрите: точки Точки расположены по разные стороны от проведенной прямой, но на равных расстояниях от нее. Они симметричны, относительно этой прямой. Тоже можно сказать о точках Точки , где, конечно 11-06-120.jpg Значит, прямая y =x - ось симетрии гиперболы Функция ( равно как и y = -x)


График 
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции функции а) на отрезке отрезок; б) на отрезке [- 8, - 1].
Решение, а) Построим график функции функции и выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка отрезок (рис. 30). Для выделенной части графика находим:

Задание

б) Построим график функции Задание и выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [- 8, - 1] (рис. 31). Для выделенной части графика находим:

Задание


Графики


Итак, мы рассмотрели функцию Задание для случая, когда k= 1. Пусть теперь k — положительное число, отличное от 1, например k = 2.

Рассмотрим функцию Задание и составим таблицу значений этой функции:

Задание


Построим точки (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1), 11-06-129.jpgточки

на координатной плоскости (рис. 32). Они намечают некоторую линию, состоящую из двух ветвей; проведем ее (рис. 33). Как и график функции Задание, эту линию называют гиперболой.

Рассмотрим теперь случай, когда k < 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции Задание (здесь k = - 1).

Графики

В предыдущем параграфе мы отметили, что график функции у = -f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси х. В частности, это значит, что график функции y = - f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси x. В частности, это значит, что график функции  Задание  , симетричен графику Задание односительно оси абсцисс ( рис. 34) Таким образом, мы получим гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных углах.

График

Вообще, графиком функции Задание является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если k > 0 (рис. 33), и во втором и четвертом координатных углах, если k < О (рис. 34). Точка (0; 0) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.

Обычно говорят, что две величины х и у обратно пропорциональны, если они связаны соотношением ху = k (где k — число, отличное от 0), или, что то же самое, Задание. По этой причине функцию Задание называют иногда обратной пропорциональностью (по аналогии с функцией у - kx, которую, как вы, наверное,
помните, называют прямой пропорциональностью); число k — коэффициент обратной пропорциональности.

Свойства функции Функция при k > 0

Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель— гиперболу (см., рис. 33).

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.

2. у > 0 при х>0;у<0 при х<0.

3. Функция убывает на промежутках (-°°, 0) и (0, +°°).

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции

6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо) и претерпевает разрыв при х = 0.

Свойства функции Функция при k < 0
Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель — гиперболу (см. рис. 34).

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.

2. у > 0 при х < 0; у < 0 при х > 0.

3. Функция возрастает на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо).

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо) и претерпевает разрыв при х = 0.

Пример 2. Решить уравнение Задание

Решение.
1) Рассмотрим две функции: Задание и у = 5 - х.
2) Построим график функции Задание  гиперболу (рис. 35).
3) Построим график линейной функции Это — прямая, ее можно построить по двум точкам (0; 5) и (5; 0). Она изображена на том же чертеже (рис. 35).

График
4) По чертежу устанавливаем, что гипербола и прямая пересекаются в точках А (1; 4) и В (4; 1). Проверка показывает, что это на самом деле так.

Значит, данное уравнение имеет два корня: 1 и 4 — это абсциссы точек А и Б.

Ответ: 1,4.

Пример 3. Построить и прочитать график функции у = f(x), где

Задание


Решение. Построение графика, как обычно в таких случаях, осуществим «по кусочкам». Сначала построим параболу у = - х2 и выделим ее часть на отрезке [- 2, 1] (рис. 36).

Затем построим гиперболу у и выделим ее часть на открытом луче (1, +оо) (рис. 37). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат — получим график функции у = f(x) (рис. 38).

Графики

Перечислим свойства функции у = f(x), т.е. прочитаем график.

1. Область определения функции — луч [-2, +оо).

2. у = 0 при х = 0; у < 0 при - 2 < д; < 0 и при я > 0.

3. Функция возрастает на промежутке [-2, 0] и [1, +оо), убывает на отрезке [0, 1].

4. Функция ограничена и снизу и сверху.

5. унаим = - 4 (достигается при х = - 2); yнаиб = 0 (достигается при х = 0).

6. Функция непрерывна в заданной области определения.

График

(И В заключение рассмотрим пример, считающийся достаточно сложным.

Задание

Значит, f(x - 3) - f(x + 2) = 2,5f (х - 3) . f(х + 2), что и требовалось доказать.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.